Serie telescopiche
ciao a tutti..
sapete come si risolvono gli esercizi del tipo "stabilire quanto vale la somma della seguente serie telescopica $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(7n-3)(7n-4)}$"
sapete come si risolvono gli esercizi del tipo "stabilire quanto vale la somma della seguente serie telescopica $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(7n-3)(7n-4)}$"
Risposte
Ma sei sicuro di quei 7 nella traccia?
Perché io proverei a decomporre in somma, come si fa per calcolare integrali di funzioni razionali.
Ovvero $\frac{1}{(7n-3)(7n-4)}=A/(7n-3)+B/(7n-4)$. Risulta $A=-1, B=1$. Allora le somme parziali della tua serie sono:
$sum_{k=1}^n1/(7k-4)-1/(7k-3)$. E però questa serie non mi pare telescopica... Infatti non esistono $m,n\inNN$ per cui $1/(7m-4)-1/(7n-3)=0$. (Perché questo significherebbe $(m-n)=1/7$ che non ha soluzioni intere.)
Se però invece dei 7 ci fossero stati due 1, avresti ottenuto, con lo stesso procedimento, $sum_{k=1}^n1/(k-4)-1/(k-3)$ ovvero $1/(1-4)-1/(1-3)+1/(2-4)-1/(2-3)+ldots+1/(n-4)-1/(n-3)$ in cui sopravvivono solo $-1/4 + 1/(n-4)$. Il limite di questa successione è anche la somma della serie. (Controlla bene il mio risultato perché forse ci sono errori).
Perché io proverei a decomporre in somma, come si fa per calcolare integrali di funzioni razionali.
Ovvero $\frac{1}{(7n-3)(7n-4)}=A/(7n-3)+B/(7n-4)$. Risulta $A=-1, B=1$. Allora le somme parziali della tua serie sono:
$sum_{k=1}^n1/(7k-4)-1/(7k-3)$. E però questa serie non mi pare telescopica... Infatti non esistono $m,n\inNN$ per cui $1/(7m-4)-1/(7n-3)=0$. (Perché questo significherebbe $(m-n)=1/7$ che non ha soluzioni intere.)
Se però invece dei 7 ci fossero stati due 1, avresti ottenuto, con lo stesso procedimento, $sum_{k=1}^n1/(k-4)-1/(k-3)$ ovvero $1/(1-4)-1/(1-3)+1/(2-4)-1/(2-3)+ldots+1/(n-4)-1/(n-3)$ in cui sopravvivono solo $-1/4 + 1/(n-4)$. Il limite di questa successione è anche la somma della serie. (Controlla bene il mio risultato perché forse ci sono errori).
allora il testo della serie è $\sum_{n=1}{\infty} \frac{1}{(7n-3)(7n-4)}$ da $7n-3=7n+7-4=7(n+1)-4$ si ha che si può ottenere la serie telescopica decomponendo in somma
ah ecco...Non ci avevo pensato... 
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