Serie telescopica e prodotti.

[StellaMartensitica]

Salve, non ho capito una questione sollevata in classe dal docente mentre si studiava le serie:

$\sum_{n=2}^(+infty)ln(1-1/n^2)$

È una serie telescopica ed il risultato è $-ln(2)$ ( e fino qui ci sono arrivato).

Non ho capito come da qui si può concludere:

$\prod_{n=2}^(+infty) (1-1/n^2)=1/2$

?

[dissonance]

Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi.

[pilloeffe]

Ciao SirDanielFortesque,

Non è proprio banalissimo...

Se $a > 0$ sussiste la ben nota identità $ a = e^{\ln a} $ ove $\ln a$ è il logaritmo in base $e$ dell'argomento $a$. Posto $a := 1 + a_k$, si può scrivere
\begin{equation}
1 + a_k = e^{\ln (1 + a_k)}
\end{equation}
Scrivendo quest'ultima relazione per $k = 1, 2, 3,..., n$ si ottengono le relazioni seguenti:
\begin{align*}
1 + a_1 & = e^{\ln (1 + a_1)}\\
1 + a_2 & = e^{\ln (1 + a_2)}\\
1 + a_3 & = e^{\ln (1 + a_3)}\\
& \vdots\\
1 + a_n & = e^{\ln (1 + a_n)}
\end{align*}
Moltiplicando membro a membro tenendo conto delle proprietà degli esponenziali, si ha:
\begin{equation*}
(1 + a_1) \cdot (1 + a_2) \cdot (1 + a_3) \cdot ... \cdot (1 + a_n) = e^{\ln (1 + a_1) + \ln (1 + a_2) + \ln (1 + a_3) + ... + \ln (1 + a_n)}
\end{equation*}
Introducendo la notazione di produttoria $\prod_{k=1}^{n} (1 + a_k):= (1 + a_1) \cdot (1 + a_2) \cdot (1 + a_3) \cdot ... \cdot (1 + a_n)$
e la più leggibile notazione $\exp[{\ln (1 + a_k)}]$ in luogo della $ e^{\ln (1 + a_k)} $, la precedente equazione si può riscrivere nella forma più compatta seguente:
\begin{equation}
\boxed{\prod_{k=1}^{n} (1 + a_k) = \exp{\bigg[\sum_{k=1}^{n} \ln (1 + a_k)\bigg]}}
\end{equation}
Ora poni $a_k := 1/k $, poi $a_k := - 1/k $ facendo partire $k $ da $2 $ e ti trovi $ \prod_{k=2}^{n} (1 + 1/k) $ e $ \prod_{k=2}^{n} (1 - 1/k) $
Infine osservando che

$ \prod_{k=2}^{n} (1 - 1/k^2) = \prod_{k=2}^{n} (1 - 1/k)(1 + 1/k) = \prod_{k=2}^{n} (1 - 1/k)\prod_{k=2}^{n} (1 + 1/k) $

e facendo tendere $n \to +\infty $...
In alternativa, scrivendo direttamente
\begin{equation*}
\boxed{\prod_{k=2}^{+\infty} (1 + a_k) = \exp{\bigg[\sum_{k=2}^{+\infty} \ln (1 + a_k)\bigg]}}
\end{equation*}
e ponendo $a_k = - 1/k^2 $, dato che ti è nota la somma della serie...

[StellaMartensitica]

Grazie mille delle risposte. Mi ero confuso sul fatto che avevo scritto sugli appunti il passaggio di una "sommatoria" che "portata dentro" il logaritmo diventava una produttoria e non capivo. Adesso ho compreso.