Serie telescopica

[poncelet]

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}$ l'ho studiata in questo modo:

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}(\frac{1}{\sqrt{n}+1})=\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}+1})$

si tratta di una serie telescopica. Calcolo quindi

$\lim_{k \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{k}+1}=0$

quindi

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}=1$

Giusto?

[Quinzio]

Non è corretto....non mi sembra una serie telescopica.
Se provo a scrivere i primi termini:
$(1-1/2)+(1/(\sqrt2)-1/(sqrt2+1))+(1/(\sqrt3)-1/(sqrt3+1))+(1/(\sqrt4)-1/(sqrt4+1))+$

dovrei vedere che si cancellano a due a due, il 2^ col 3^, il 4^ col 5^ e cosi via, ma questo non succede.

La tua serie si risolve molto più semplicemente.

[Gi81]

"maxsiviero":$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}$ l'ho studiata in questo modo:

$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}(\frac{1}{\sqrt{n}+1})=\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}+1})$

Fin qui è corretto.

"maxsiviero":si tratta di una serie telescopica.

Non è vero. Se fosse stata $\sum_{n=1}^{+\infty}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$ sarebbe stata una serie telescopica

edit: anticipato da Quinzio, pardon

[poncelet]

Già è vero. In effetti bastava vedere che

$\frac{1}{\sqrt{n}+n} \sim \frac{1}{n}$

e dedurre per il confronto asintotico che la serie diverge.