Serie telescopica
Svolgendo questa serie telescopica il risultato mi viene diverso da quello del libro nonostante ho svolto l'esercizio come l'esercizio guida.
$\sum_{k=0}^infty frac{1}{(2k+1) * (2k+3)}$
scomponendo ho trovato che:
$\sum_{k=0}^infty 1/2 *[ frac{1}{2k+1} - frac{1} {2k+2} + frac{1}{2k+2} - frac{1}{2k+3}]$
e quindi
$\sum_{k=0}^infty 1/2 *[ frac{1}{2k+1} - frac{1} {2k+2}] = frac {1}{2}$
e
$\sum_{k=0}^infty 1/2 *[ frac{1}{2k+2} - frac{1} {2k+3}] = frac {1}{4}$
quindi
$\sum_{k=0}^infty frac{1}{(2k+1) * (2k+3)} = frac {1}{2} + frac {1}{4} = frac {3}{4} $
Adesso il risultato del libro è $frac {1}{2}$
mi dite cosa ho sbagliato?? vi ringrazio
$\sum_{k=0}^infty frac{1}{(2k+1) * (2k+3)}$
scomponendo ho trovato che:
$\sum_{k=0}^infty 1/2 *[ frac{1}{2k+1} - frac{1} {2k+2} + frac{1}{2k+2} - frac{1}{2k+3}]$
e quindi
$\sum_{k=0}^infty 1/2 *[ frac{1}{2k+1} - frac{1} {2k+2}] = frac {1}{2}$
e
$\sum_{k=0}^infty 1/2 *[ frac{1}{2k+2} - frac{1} {2k+3}] = frac {1}{4}$
quindi
$\sum_{k=0}^infty frac{1}{(2k+1) * (2k+3)} = frac {1}{2} + frac {1}{4} = frac {3}{4} $
Adesso il risultato del libro è $frac {1}{2}$
mi dite cosa ho sbagliato?? vi ringrazio
Risposte
Perché le due serie prese singolarmente non danno quel risultato. Ad esempio
[tex]\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2} ( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2} ) = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} [(1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + ... + (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2})][/tex]
non fa certamente [tex]\frac{1}{2}[/tex], perché ha tutta l'aria di essere la serie alternata [tex]\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}[/tex], che converge a [tex]\frac{1}{2} ln(2)[/tex].
Considerando però la serie originale,
[tex]\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2} ( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} )[/tex]
possiamo notare che
[tex]\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2} ( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} ) = \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty} [(1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + ... + (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3})] = \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{2n+3}) = \frac{1}{2}[/tex]
Ok?
[tex]\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2} ( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+2} ) = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} [(1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + ... + (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2})][/tex]
non fa certamente [tex]\frac{1}{2}[/tex], perché ha tutta l'aria di essere la serie alternata [tex]\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}[/tex], che converge a [tex]\frac{1}{2} ln(2)[/tex].
Considerando però la serie originale,
[tex]\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2} ( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} )[/tex]
possiamo notare che
[tex]\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2} ( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} ) = \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty} [(1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + ... + (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3})] = \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{2n+3}) = \frac{1}{2}[/tex]
Ok?
pat87 ha scritto:
ma quello che hai fatto tu , ovvero
$\frac{1}{2}\ lim {n\to\infty}(1-\frac{1}{2n+3}) = \frac{1}{2}
lo potrei fare se fosse una serie telescopica cioè del tipo:
$sum_{k=0} to {infty}\ frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ ??
qui invece è del tipo :
$sum_{k=0} to {infty}\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}$
o mi sbaglio??
ma quello che hai fatto tu , ovvero
$\frac{1}{2}\ lim {n\to\infty}(1-\frac{1}{2n+3}) = \frac{1}{2}
lo potrei fare se fosse una serie telescopica cioè del tipo:
$sum_{k=0} to {infty}\ frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ ??
qui invece è del tipo :
$sum_{k=0} to {infty}\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}$
o mi sbaglio??
Il problema è che tu hai un termine "$2k$" nel denominatore, e questo fa sì che una serie telescopia assuma proprio questa forma apparentemente non corretta.
L'idea della telescopica infatti è che i termini intermdi si eliminino due a due per ottenere un limite banale con cui poter dedurre semplicemente il risultato. E ti ho fatto vedere prima che con la tua scomposizione ciò non funziona più.
L'idea della telescopica infatti è che i termini intermdi si eliminino due a due per ottenere un limite banale con cui poter dedurre semplicemente il risultato. E ti ho fatto vedere prima che con la tua scomposizione ciò non funziona più.
ok adesso mi è chiaro! grazie 
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