Serie telescopica
Ciao,
ho risolto un esercizio teorico riguardante le serie telescopiche. Mi piacerebbe sapere se sia o meno corretto
"Usando la definizione di somma di una serie numerica, discutere per quali successioni $an$ risulta: $\sum_{k=0}^(\infty) (a_k - a_(k+1)) = a_0/2$"
Io ho risolto in questa maniera...ma mi lascia un attimo in dubbio $a_0$ che non so come deve andare interpretato.
ho preso in considerazione: $\sum_{k=0}^(\infty) (1/(2n) - 1/(2n + 1))$
La serie converge: $Lim_(n -> +\infty) 1/(2n) = 0$ di conseguenza posso calcolare la somma che è pari a $1/2$.
È corretto?
Grazie
ho risolto un esercizio teorico riguardante le serie telescopiche. Mi piacerebbe sapere se sia o meno corretto
"Usando la definizione di somma di una serie numerica, discutere per quali successioni $an$ risulta: $\sum_{k=0}^(\infty) (a_k - a_(k+1)) = a_0/2$"
Io ho risolto in questa maniera...ma mi lascia un attimo in dubbio $a_0$ che non so come deve andare interpretato.
ho preso in considerazione: $\sum_{k=0}^(\infty) (1/(2n) - 1/(2n + 1))$
La serie converge: $Lim_(n -> +\infty) 1/(2n) = 0$ di conseguenza posso calcolare la somma che è pari a $1/2$.
È corretto?
Grazie
Risposte
Basta calcolare le somme parziali:
\[
s_n = \sum_{k=0}^n (a_k - a_{k+1}) = a_0 - a_{n+1}\,.
\]
Di conseguenza, la serie converge se e solo se la successione \((a_n)\) è convergente; in tal caso, la somma \(s\) della serie è data da
\[
s = \lim_n s_n = a_0 - \lim_n a_n\,.
\]
Ora non dovrebbe essere difficile capire quando si ha \(s = a_0 / 2\).
\[
s_n = \sum_{k=0}^n (a_k - a_{k+1}) = a_0 - a_{n+1}\,.
\]
Di conseguenza, la serie converge se e solo se la successione \((a_n)\) è convergente; in tal caso, la somma \(s\) della serie è data da
\[
s = \lim_n s_n = a_0 - \lim_n a_n\,.
\]
Ora non dovrebbe essere difficile capire quando si ha \(s = a_0 / 2\).
Scusa, ma è da poco che ho iniziato a studiare le serie 
Come calcolo le somme parziali di una serie telescopica? Purtroppo faccio ancora un po' di fatica a muovermi in questo argomento
Oltre a quanto scritto poco sopra (che purtroppo rappresenta la base dell'argomento XD) volevo cercare di capire meglio quanto scritto da te...l'elemento $a_0$ sarebbe il primo elemento delle somme parziali?
Ti ringrazio enormemente per una tua eventuale risposta
Come calcolo le somme parziali di una serie telescopica? Purtroppo faccio ancora un po' di fatica a muovermi in questo argomento
Oltre a quanto scritto poco sopra (che purtroppo rappresenta la base dell'argomento XD) volevo cercare di capire meglio quanto scritto da te...l'elemento $a_0$ sarebbe il primo elemento delle somme parziali?
Ti ringrazio enormemente per una tua eventuale risposta
Facciamo un esempio:
\[
s_4 = \sum_{k=0}^4 (a_k - a_{k+1}) = (a_0 - a_1) + (a_1 - a_2) + (a_2- a_3) + (a_3 - a_4) + (a_4 - a_5).
\]
Vedi subito che i termini si cancellano a due a due, con l'esclusione del primo e dell'ultimo, per cui
\[
s_4 = a_0 - a_5.
\]
La stessa cosa vale in generale:
\[
s_n = a_0 - a_{n+1}.
\]
\[
s_4 = \sum_{k=0}^4 (a_k - a_{k+1}) = (a_0 - a_1) + (a_1 - a_2) + (a_2- a_3) + (a_3 - a_4) + (a_4 - a_5).
\]
Vedi subito che i termini si cancellano a due a due, con l'esclusione del primo e dell'ultimo, per cui
\[
s_4 = a_0 - a_5.
\]
La stessa cosa vale in generale:
\[
s_n = a_0 - a_{n+1}.
\]
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