Serie Telescopica

[Maryse1]

Ho un problema riguardo un esercizio. Devo calcolare la somma, il libro riporta che la soluzione è 1/2, ma a me esce diverso..
La serie è questa: (la somma va da 0 a infinito, non so come scriverla con le formule xD)

$ sum_(k = 0\ldots) (1/((2k+1)(2k+3))) $

In pratica ho scambiato il 2k con una generica y, e la serie va sempre fra 0 e infinito. Qua ho scritto che:

$ 1/((y+1)(y+3)) = 1/2(1/(y+1)-1/(y+3)) $
e quindi questo è uguale a:

$ 1/2(1/(y+1)+1/(y+2)-1/(y+2)-1/(y+3)) $
a questo punto, ho diviso la serie in due e me la sono calcolata, ma il risultato non mi esce mai 1/2... dove sbaglio?

[Noisemaker]

Grazie alla scomposizione in fratti semplici, il termine generale della serie lo puoi scrivere come:
\begin{align}
\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ 2k+1 }-\frac{1} {2k+3}\right),
\end{align}
quindi la somma parziale $n-$esima sarà:
\begin{align}
&\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ 2k+1 }-\frac{1} {2k+3}\right)=
\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{ 2k+1 }-\frac{1} {2k+3}\right)\\
=&\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1} {3}\right)+\left(\frac{1}{ 3}-\frac{1} {5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1} {7}\right)+...+\left(\frac{1}{ 2n-1 }-\frac{1} {2n+1}\right)+\left(\frac{1}{ 2n+1 }-\frac{1} {2n+3}\right)\right]\\
=&\frac{1}{2}\left( 1 -\frac{1} {2n+3}\right);
\end{align}
essendo la somma della serie il limite delle somme parziali, avremo che
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2}\left( 1 -\frac{1} {2n+3}\right)=\frac{1}{2}.
\end{align}

[Maryse1]

Ah ecco, grazie mille per l'aiuto

[Maryse1]

Ho un altro problema rispetto un'altra serie telescopica. Questa:

$ sum_(k = 1) ^∞ k/(4k^2-1)^2 $

come posso svolgerla?..

[Noisemaker]

Scomponendo in fratti semplici il termine generale si ha:
\begin{align}
\frac{k}{\left(4k^2-1\right)^2}=\frac{1}{8\left(2k -1\right)^2}-\frac{1}{8\left(2k +1\right)^2};
\end{align}
la serie allora diviene:
\begin{align}
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{8\left(2k -1\right)^2}-\frac{1}{8\left(2k +1\right)^2}=\frac{1}{8}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{ \left(2k -1\right)^2}-\frac{1}{ \left(2k +1\right)^2};
\end{align}
calcolando le somme parziali:
\begin{align}
\frac{1}{8}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{ \left(2k -1\right)^2}-\frac{1}{ \left(2k +1\right)^2}&=\frac{1}{8}\left[\left(1-\frac{1}{3^2}\right)+\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{5^2}\right) +\left(\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}\right)+...+ \left(\frac{1}{ \left(2n -1\right)^2}-\frac{1}{ \left(2n +1\right)^2}\right)\right]\\
&=\frac{1}{8}\left[ 1 -\frac{1}{ \left(2n +1\right)^2} \right],
\end{align}
da cui calcolandone il limite, si ottiene:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{8}\left[ 1 -\frac{1}{ \left(2n +1\right)^2} \right]=\frac{1}{8}.
\end{align}

[Maryse1]

Grazie mille