Serie, studio del limite sul criterio del confronto asintot.
Salve,
Il professore spiega il criterio del confronto asintotico cosi:
Siano $\sum_{n=1}^oo a_n$, $\sum_{n=1}^oo b_n$ due serie a termini positivi
Sia $\lim_{n \to \infty}a_n/b_n=L$ con $L!=0, L$ reale positivo e $L!=+oo$
Tesi: allora le due serie hanno lo stesso comportamento.
Poi fa un esempio che non capisco:
$\sum_{n=1}^oo sin(1/n)$
calcola il limite che tende a zero: $\lim_{x \to 0} (sin x)/x=1$ poi $\lim_{n \to +oo} (sin (1/n))/(1/n)=1$ reale positivo $!=0!=+oo$
e pertanto le due serie $\sum_{n=1}^oo sin(1/n)$ e $\sum_{n=1}^oo 1/n$ (armonica generalizzata) hanno lo stesso comportamento.
Ora la mia domanda è: perchè ha cercato il limite che tende a $0$ e non a $+oo$? e poi il secondo limite quello a $+oo$ non viene una forma indeterminata $0/0$?
Grazie in anticipo.
Il professore spiega il criterio del confronto asintotico cosi:
Siano $\sum_{n=1}^oo a_n$, $\sum_{n=1}^oo b_n$ due serie a termini positivi
Sia $\lim_{n \to \infty}a_n/b_n=L$ con $L!=0, L$ reale positivo e $L!=+oo$
Tesi: allora le due serie hanno lo stesso comportamento.
Poi fa un esempio che non capisco:
$\sum_{n=1}^oo sin(1/n)$
calcola il limite che tende a zero: $\lim_{x \to 0} (sin x)/x=1$ poi $\lim_{n \to +oo} (sin (1/n))/(1/n)=1$ reale positivo $!=0!=+oo$
e pertanto le due serie $\sum_{n=1}^oo sin(1/n)$ e $\sum_{n=1}^oo 1/n$ (armonica generalizzata) hanno lo stesso comportamento.
Ora la mia domanda è: perchè ha cercato il limite che tende a $0$ e non a $+oo$? e poi il secondo limite quello a $+oo$ non viene una forma indeterminata $0/0$?
Grazie in anticipo.
Risposte
$sin (1/n) /(1/n)$ non è altro che un limite notevole: $sin(an)/(an)$ per $an$ che tende a 0 fa 1.
Quando fa il limite per $x$ che tende a $0$ non fa altro che ricordartelo.
Quando fa il limite per $x$ che tende a $0$ non fa altro che ricordartelo.
$sin(an)/(an)$ non è un limite notevole solo per $an->0$?
Io in questo caso ho un limite che tende a $+oo$, è la stessa cosa?
Io in questo caso ho un limite che tende a $+oo$, è la stessa cosa?
"unit1":
$sin(an)/(an)$ non è un limite notevole solo per $an->0$?
Io in questo caso ho un limite che tende a $+oo$, è la stessa cosa?
Si, ma $1/n$ per n che tende a infinito è la stessa cosa di an che tende a 0, ove an=$1/n$
Cosi i calcoli tornano, ma posso sempre cercare il limite che tende a zero, al posto di $+oo$ nelle serie? Mi sapresti dire perchè è la stessa cosa?
"unit1":
Cosi i calcoli tornano, ma posso sempre cercare il limite che tende a zero, al posto di $+oo$ nelle serie? Mi sapresti dire perchè è la stessa cosa?
Non ho capito.. cosa c'entra il limite che tende a 0? Non ce ne sono limiti ch tendono a 0, quel limite che vedi per x che tende a 0, serve solo per dirti "ricordati che esiste questo limite notevole", che come ti ho già detto è lo stesso di $sin(1/n)/(1/n)$ per n che tende a infinito.
ah, i limiti notevoli sono due.. scusa non avevo capito io. 
Certo ci poteva mettere quello a $+oo$ nell'esempio cosi sarebbe stato molto più comprensibile
Grazie 1000
Certo ci poteva mettere quello a $+oo$ nell'esempio cosi sarebbe stato molto più comprensibile Grazie 1000
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