Serie: soluzione del professore errata?
Questa serie è un esercizio dato all'ultimo esame:
$\sum_{n=2}^oo (sen( n+1)cos(n^2))/(n^2-n) $
La soluzione data dal professore è la seguente:
La serie e' ASSOLUTAMENTE CONVERGENTE: si utilizza anche il confronto con la serie ARMONICA generalizzata con p = 2 (che appunto converge).
Io ho provato a utilizzare il confronto con la serie consigliata, ma mi sembra che non converga!
Quella serie non risulta maggiorata dalla serie armonica. E' possibile che il professore abbia commesso un errore?
Ho anche provato a ricavare una funzione asintoticamente equivalente. Però mi trovo:
$sen(n+1) \sim (n+1)$
$cos(n^2) \sim 1$
Poi sinceramente non so come procedere con $n^2-n$; che anche lasciandolo uguale (quindi $(n+1)/(n^2-n)$ ) non arrivo a nessuna conclusione con nessun metodo (confronto, rapporto, Raabe)
Probabilmente non è il metodo adatto.
Secondo voi sbaglio approccio o la soluzione consigliata è errata e la serie diverge?
Grazie
$\sum_{n=2}^oo (sen( n+1)cos(n^2))/(n^2-n) $
La soluzione data dal professore è la seguente:
La serie e' ASSOLUTAMENTE CONVERGENTE: si utilizza anche il confronto con la serie ARMONICA generalizzata con p = 2 (che appunto converge).
Io ho provato a utilizzare il confronto con la serie consigliata, ma mi sembra che non converga!
Quella serie non risulta maggiorata dalla serie armonica. E' possibile che il professore abbia commesso un errore?
Ho anche provato a ricavare una funzione asintoticamente equivalente. Però mi trovo:
$sen(n+1) \sim (n+1)$
$cos(n^2) \sim 1$
Poi sinceramente non so come procedere con $n^2-n$; che anche lasciandolo uguale (quindi $(n+1)/(n^2-n)$ ) non arrivo a nessuna conclusione con nessun metodo (confronto, rapporto, Raabe)
Probabilmente non è il metodo adatto.
Secondo voi sbaglio approccio o la soluzione consigliata è errata e la serie diverge?
Grazie
Risposte
No, in questo caso "il prof" ha ragione: la serie converge assolutamente.
Il valore assoluto del numeratore lo maggiori con 1, e ti resta una serie che è convergente perché il denominatore va a zero di ordine due (rispetto ad 1/n).
Il valore assoluto del numeratore lo maggiori con 1, e ti resta una serie che è convergente perché il denominatore va a zero di ordine due (rispetto ad 1/n).
"faximusy":
Ho anche provato a ricavare una funzione asintoticamente equivalente. Però mi trovo:
$sen(n+1) \sim (n+1)$
$cos(n^2) \sim 1$
questi sviluppi valgno per n piccolo... non per n grande... troppo piccolo n non può essere al min sarà uno
.. poi a te interessa il comportamento asintotico... attento questo è un errore importante che farai bene a non ripetere gli sviluppi valgono solo sotto certe condizioni!"faximusy":
Poi sinceramente non so come procedere con $n^2-n$; che anche lasciandolo uguale (quindi $(n+1)/(n^2-n)$ ) non arrivo a nessuna conclusione con nessun metodo (confronto, rapporto, Raabe)
Grazie
ma se avevi così tanto voglia di fare confronti asintotici n^2-n \sim n^2 potevi sostituirlo
...
"Fioravante Patrone":
No, in questo caso "il prof" ha ragione: la serie converge assolutamente.
Il valore assoluto del numeratore lo maggiori con 1, e ti resta una serie che è convergente perché il denominatore va a zero di ordine due (rispetto ad 1/n).
Effettivamente, per $n$ grandi l'armonica riesce a maggiorare la serie in esame. Mi ero soffermato su $n$ troppo piccoli
Grazie
"Thomas":
questi sviluppi valgono per n piccolo... non per n grande... troppo piccolo n non può essere al min sarà uno
ma se avevi così tanto voglia di fare confronti asintotici n^2-n \sim n^2 potevi sostituirlo
Dovevo immaginarlo; ammetto di non aver ben capito quali sono le condizioni che permettono un opportuno confronto asintotico
Grazie
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