Serie semplici ma sono in crisi :D
Salve a tutti,
purtroppo non riesco più a risolvere queste semplici Serie:
1.
$\sum_{n=1}^oo (-1)^n sen(n/(n^2+1))$
2.
$\sum_{n=1}^oo (-1)^n (sen^3n)/(n^2+2n+3)$
3.
$\sum_{n=1}^oo 1/(2n+3ln(n))$
Se poteste essermi d'aiuto ve ne sarei grato
purtroppo non riesco più a risolvere queste semplici Serie:
1.
$\sum_{n=1}^oo (-1)^n sen(n/(n^2+1))$
2.
$\sum_{n=1}^oo (-1)^n (sen^3n)/(n^2+2n+3)$
3.
$\sum_{n=1}^oo 1/(2n+3ln(n))$
Se poteste essermi d'aiuto ve ne sarei grato
Risposte
Per quanto riguarda il primo: si tratta di una serie a termini alterni. La si può risolvere con Leibniz, cioè: se consideri $a_n = sen(n/(n^2 + 1))$ e $lim_(x -> \infty) a_n = 0$ allora puoi considerare come serie da studiare, solo $a_n$, e vedi che sviluppando con McLaurin ottieni:
$sin(1/x) = 1/x$
quindi essendo un infinitesimo di ordine solo 1, questa serie non colverge.
$sin(1/x) = 1/x$
quindi essendo un infinitesimo di ordine solo 1, questa serie non colverge.
ma per questa prima serie usando il teorema di Liebniz abbiamo che se $a_n$ è sempre maggiore di $0$ e se è una successione sempre crescente la serie non può convergere (con l'aggiunta di $\lim_{n \to \0}a_n=0$ possiamo concludere che converge). Ma, come in questo caso, se una delle ipotesi del teorema non vengono rispettate (nel nostro caso la funzione $sen$ risulta negativa per $n<0$) possiamo direttamente concludere che è una serie divergente? Oppure salterei qualche ulteriore dimostrazione?
"Sutekh":
ma per questa prima serie usando il teorema di Liebniz abbiamo che se $a_n$ è sempre maggiore di $0$ e se è una successione sempre crescente la serie non può convergere (con l'aggiunta di $\lim_{n \to \0}a_n=0$ possiamo concludere che converge). Ma, come in questo caso, se una delle ipotesi del teorema non vengono rispettate (nel nostro caso la funzione $sen$ risulta negativa per $n<0$) possiamo direttamente concludere che è una serie divergente? Oppure salterei qualche ulteriore dimostrazione?
In effetti non avevo per niente notato che il seno diventava negativo..
meglio aspettare qualche altro parere prima difare altra confuzione allora.. 
Sutekh:
[...] nel nostro caso la funzione $sen$ risulta negativa per $n<0$[...]
$n$ può assumere valori negativi?(no, perchè? )
Per la 1. devi applicare il criterio di Leibnitz le cui ipotesi sono soddisfatte (controllale)
Per la 2. proverei a trovare una successione che maggiori $(-1)^n (sin^3(n))/(n^2+2n+3)$ e ragionare un po'
Per la 3. proverei a trovare una successione che minori $1/(2n +3 ln(n))$ e ragionare un po'
Provaci e fammi sapere com'è andata!
ah già hai ragione..in quel caso $n$ è sempre maggiore di $0$ visto che è l'argomento del seno.
Ma comunque rinnovo il mio dubbio: se uso il teorema di Liebniz e vedo che una delle ipotesi non è soddisfatta posso subito concludere che la serie diverge?
Ma comunque rinnovo il mio dubbio: se uso il teorema di Liebniz e vedo che una delle ipotesi non è soddisfatta posso subito concludere che la serie diverge?
"Sutekh":
ah già hai ragione..in quel caso $n$ è sempre maggiore di $0$ visto che è l'argomento del seno.
Ma comunque rinnovo il mio dubbio: se uso il teorema di Liebniz e vedo che una delle ipotesi non è soddisfatta posso subito concludere che la serie diverge?
$n>0$ perchè la serie parte da 1, a te non interessa come si comporta il seno "altrove"
Per quanto riguarda la seconda domanda, la risposta è no, devi cambiare criterio.
Può succedere che la serie non sia regolare, ad esempio:
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n$
La successione che interviene è della forma $b_n= (-1)^n a_n$ dove $a_n = 1 AAn\in NN$. La successione $a_n$ non è decrescente, ma non puoi affermare che la serie diverge, essa infatti è non regolare. Lo si può vedere dalle somme parziali:
$\sum_{n=1}^k (-1)^n = {(-1\quad se\quad k\quad dispari),(0\quad se\ quad k\quad pari):}$
[size=75][Edit]: corretto pari dispari nella somma [/size]
ah già vero che stupido..nn avevo visto la cosa più ovvia xD
cmq ok ho capito..grazie per la spiegazione ^^
cmq ok ho capito..grazie per la spiegazione ^^
Finalmente ho potuto provare a risolvere queste serie:
1.
$\sum_{n=1}^oo (-1)^n sen(n/(n^2+1))$
Soddisfa la condizione necessaria? Si. Il limite del termine ennesimo per $n -> +oo$ è 0.
Essendo a segni alterni, applico Leibniz.
E' una successione decrescente?
Si, i valori della somma decrescono.
E' infinitesima?
Abbiamo testato prima di si.
La serie quindi CONVERGE.
2.
$\sum_{n=1}^oo (-1)^n (sen^3n)/(n^2+2n+3)$
Soddisfa la condizione necessaria? Si. Evidentemente il termine ennesimo tende a zero per $n -> +oo$, infatti il seno varierà fra $-1$ e $1$, mentre al denominatore abbiamo una funzione che va all'infinito.
Anche qui, applico Leibniz.
E' una successione decrescente?
Si, il numeratore resta pressapoco costante, mentre il denominatore aumenta a sufficienza da renderla sempre decrescente.
Sappiamo già che è infinitesima.
La serie quindi CONVERGE.
3.
$\sum_{n=1}^oo 1/(2n+3ln(n))$
Soddisfa la condizione necessaria? Direi proprio di si
Seguendo il suggerimento di Mathematico, cerco una maggiorante di questa funzione.
Provo con la serie Armonica di termine generale $1/n^p$ con $p=2>1$
Ebbene, la serie armonica così definita non maggiora la mia serie.
Provo con la serie Geometrica di termine generale $x^n$ con $x=1/2<1$
Ma niente, non la maggiora.
A questo punto passo al Criterio del confronto asintotico.
Prendo in esame una serie convergente come quella Armonica di termine generale $1/n^2=b_n$
Applico la formula:
$\lim_{n \to \+infty}a_n/b_n$ dove $a_n$ è la serie in esame.
Poichè:
$\lim_{n \to \+oo} (n^2)/(2n+3ln(n)) = +oo$
La serie DIVERGE.
Spero di non aver commesso banali errori di logica...
1.
$\sum_{n=1}^oo (-1)^n sen(n/(n^2+1))$
Soddisfa la condizione necessaria? Si. Il limite del termine ennesimo per $n -> +oo$ è 0.
Essendo a segni alterni, applico Leibniz.
E' una successione decrescente?
Si, i valori della somma decrescono.
E' infinitesima?
Abbiamo testato prima di si.
La serie quindi CONVERGE.
2.
$\sum_{n=1}^oo (-1)^n (sen^3n)/(n^2+2n+3)$
Soddisfa la condizione necessaria? Si. Evidentemente il termine ennesimo tende a zero per $n -> +oo$, infatti il seno varierà fra $-1$ e $1$, mentre al denominatore abbiamo una funzione che va all'infinito.
Anche qui, applico Leibniz.
E' una successione decrescente?
Si, il numeratore resta pressapoco costante, mentre il denominatore aumenta a sufficienza da renderla sempre decrescente.
Sappiamo già che è infinitesima.
La serie quindi CONVERGE.
3.
$\sum_{n=1}^oo 1/(2n+3ln(n))$
Soddisfa la condizione necessaria? Direi proprio di si
Seguendo il suggerimento di Mathematico, cerco una maggiorante di questa funzione.
Provo con la serie Armonica di termine generale $1/n^p$ con $p=2>1$
Ebbene, la serie armonica così definita non maggiora la mia serie.
Provo con la serie Geometrica di termine generale $x^n$ con $x=1/2<1$
Ma niente, non la maggiora.
A questo punto passo al Criterio del confronto asintotico.
Prendo in esame una serie convergente come quella Armonica di termine generale $1/n^2=b_n$
Applico la formula:
$\lim_{n \to \+infty}a_n/b_n$ dove $a_n$ è la serie in esame.
Poichè:
$\lim_{n \to \+oo} (n^2)/(2n+3ln(n)) = +oo$
La serie DIVERGE.
Spero di non aver commesso banali errori di logica...
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