Serie reali
Ciao a tutti,
ho dei problemi con due esercizi di Analisi II sulle serie reali. Riporto subito i testi
1) Determinare tutti i valori del parametro $\alpha \in \mathbb{R}$ tali che converga la serie
2) Calcolare la somma delle serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+2n}$
Per quanto riguarda il primo esercizio ho razionalizzato e raccolto $n^2$ al denominatore, ottenendo $\sum_{n-1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha+2}\cdot (\sqrt{1+n^{-4}}+1}$. A questo punto credo che dovrei fare delle stime su $(\sqrt{1+n^{-4}}+1)$, ma non so cosa inventarmi
Per quanto riguarda il secondo esercizio, non sono riuscito a farmi un'idea di risoluzione perchè non ho proprio capito le serie telescopiche
Qualcuno saprebbe darmi una mano? Grazie in anticipo
ho dei problemi con due esercizi di Analisi II sulle serie reali. Riporto subito i testi
1) Determinare tutti i valori del parametro $\alpha \in \mathbb{R}$ tali che converga la serie
$\sum_{n-1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}(\sqrt{1+n^4}-n^2)$
2) Calcolare la somma delle serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+2n}$
Per quanto riguarda il primo esercizio ho razionalizzato e raccolto $n^2$ al denominatore, ottenendo $\sum_{n-1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha+2}\cdot (\sqrt{1+n^{-4}}+1}$. A questo punto credo che dovrei fare delle stime su $(\sqrt{1+n^{-4}}+1)$, ma non so cosa inventarmi
Per quanto riguarda il secondo esercizio, non sono riuscito a farmi un'idea di risoluzione perchè non ho proprio capito le serie telescopiche
Qualcuno saprebbe darmi una mano? Grazie in anticipo
Risposte
Se razionalizzi, il termine generico diventa
$$\frac{1}{n^\alpha}\cdot\frac{1+n^4-n^4}{\sqrt{1+n^4}+n^2}=\frac{1}{n^\alpha(\sqrt{1+n^4}+n^2)}$$
Per confronto asintotico, il termine tra parentesi si comporta come $2n^2$, per cui devi studiare una serie asintotica alla seguente
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n^{\alpha+2}}$$
Questa risulta armonica generalizzata e converge per $\alpha+2>1$, mentre diverge negli altri casi.
Per il secondo, puoi osservare che
$$\frac{1}{n^2+2n}=\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$$
e ragionare sulle somme parziali....
$$\frac{1}{n^\alpha}\cdot\frac{1+n^4-n^4}{\sqrt{1+n^4}+n^2}=\frac{1}{n^\alpha(\sqrt{1+n^4}+n^2)}$$
Per confronto asintotico, il termine tra parentesi si comporta come $2n^2$, per cui devi studiare una serie asintotica alla seguente
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n^{\alpha+2}}$$
Questa risulta armonica generalizzata e converge per $\alpha+2>1$, mentre diverge negli altri casi.
Per il secondo, puoi osservare che
$$\frac{1}{n^2+2n}=\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$$
e ragionare sulle somme parziali....
Sicuro che ti rimanga $sqrt(1+n^2)+1$? A me risulta $sqrt(1+1/n^4)+1$, che ovviamente tende a 2.
A questo punto per il criterio asintotico puoi concludere che la (convergenza della) prima serie è equivalente a quella di termine generico $1/n^(\alpha+1)$.
A questo punto per il criterio asintotico puoi concludere che la (convergenza della) prima serie è equivalente a quella di termine generico $1/n^(\alpha+1)$.
@otta96 errore mio di battitura, grazie
@ciampax anche io avevo pensato di utilizzare il criterio del confronto asintotico ma non ero sicuro che la convergenza assoluta implicasse per forza quella semplice
Approfitto dell'occasione per chiedervi altre serie che mi hanno lasciato dei dubbi:
3) Studiare la convergenza semplice della serie $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (1-nlog(1+1/n))$.
Per questa ho utilizzato Liebniz, infatti
- $lim_{n\to\infty} 1-nlog(1+1/n) = lim_{n\to\infty} 1-log(1+1/n)^n = 1-loge = 1-1 = 0 $
- $1- nlog(1+1/n)$ decrescente perchè n cresce più velocemente del logaritmo (va bene?)
Quindi la serie a segno alterno converge.
4) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie $\sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{x^{2n}+|2x|^n}$, $x \in \mathbb{R}$.
Di questa serie non ho nessuna idea, ho provato a fare delle maggiorazioni ma senza successo.
5) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{1+|y|^n}, x,y\in\mathbb{R}$.
Per questa serie inizialmente ho discusso i casi
i) $x = 0$: in questo caso si ha $\sum_{n=0}^{\infty} 0= 0$
ii) $y = 0$: in questo caso si ha
$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ = \begin{cases} \frac{1}{1-x} & |x|\le 1\\+ \infty & x \ge 1\\ irregolare & x \le 1\end{cases}
iii) Se $x,y \ne 0$ allora vale la disuguaglianza $\frac{x^n}{1+|y|^n} \le \frac{x^n}{|y|^n}$. Utilizzo il criterio della radice: $L = lim_{n\to\infty} (\frac{x^n}{|y|^n})^{1/n} = |\frac{x}{y}|$. La serie convergerà se e solo se $\frac{x}{y} < 1$, cioè se e solo se $x > y$. Quindi per confronto la serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{1+|y|^n}$ converge se e solo se $x >y$.
Cosa dite? Spero di non aver scritto sciocchezze
@ciampax anche io avevo pensato di utilizzare il criterio del confronto asintotico ma non ero sicuro che la convergenza assoluta implicasse per forza quella semplice
Approfitto dell'occasione per chiedervi altre serie che mi hanno lasciato dei dubbi:
3) Studiare la convergenza semplice della serie $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n (1-nlog(1+1/n))$.
Per questa ho utilizzato Liebniz, infatti
- $lim_{n\to\infty} 1-nlog(1+1/n) = lim_{n\to\infty} 1-log(1+1/n)^n = 1-loge = 1-1 = 0 $
- $1- nlog(1+1/n)$ decrescente perchè n cresce più velocemente del logaritmo (va bene?)
Quindi la serie a segno alterno converge.
4) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie $\sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{x^{2n}+|2x|^n}$, $x \in \mathbb{R}$.
Di questa serie non ho nessuna idea, ho provato a fare delle maggiorazioni ma senza successo.
5) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{1+|y|^n}, x,y\in\mathbb{R}$.
Per questa serie inizialmente ho discusso i casi
i) $x = 0$: in questo caso si ha $\sum_{n=0}^{\infty} 0= 0$
ii) $y = 0$: in questo caso si ha
$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ = \begin{cases} \frac{1}{1-x} & |x|\le 1\\+ \infty & x \ge 1\\ irregolare & x \le 1\end{cases}
iii) Se $x,y \ne 0$ allora vale la disuguaglianza $\frac{x^n}{1+|y|^n} \le \frac{x^n}{|y|^n}$. Utilizzo il criterio della radice: $L = lim_{n\to\infty} (\frac{x^n}{|y|^n})^{1/n} = |\frac{x}{y}|$. La serie convergerà se e solo se $\frac{x}{y} < 1$, cioè se e solo se $x > y$. Quindi per confronto la serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{1+|y|^n}$ converge se e solo se $x >y$.
Cosa dite? Spero di non aver scritto sciocchezze
"Borto":
@ciampax anche io avevo pensato di utilizzare il criterio del confronto asintotico ma non ero sicuro che la convergenza assoluta implicasse per forza quella semplice
Questa però è una cosa che invece dovresti avere ben presente.
$1- nlog(1+1/n)$ decrescente perchè n cresce più velocemente del logaritmo (va bene?)
Temo di no.
Per la 4) comincia imponendo che il limite del termine n-esimo sia 0, che diventa $|x|<1/2$ (perché?), a quel punto applica il criterio della radice.
5) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{1+|y|^n}, x,y\in\mathbb{R}$.
Per questa serie inizialmente ho discusso i casi
i) $x = 0$: in questo caso si ha $\sum_{n=0}^{\infty} 0= 0$
ii) $y = 0$: in questo caso si ha
$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ = \begin{cases} \frac{1}{1-x} & |x|\le 1\\+ \infty & x \ge 1\\ irregolare & x \le 1\end{cases}
iii) Se $x,y \ne 0$ allora vale la disuguaglianza $\frac{x^n}{1+|y|^n} \le \frac{x^n}{|y|^n}$. Utilizzo il criterio della radice: $L = lim_{n\to\infty} (\frac{x^n}{|y|^n})^{1/n} = |\frac{x}{y}|$. La serie convergerà se e solo se $\frac{x}{y} < 1$, cioè se e solo se $x > y$. Quindi per confronto la serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{1+|y|^n}$ converge se e solo se $x >y$.
La prima parte va bene, però quando applichi il teorema della radice devi applicarlo a $x^n/(1+|y|^n)$, non a $(x/|y|)^n$!
Questa però è una cosa che invece dovresti avere ben presente.
Mi sono espresso male: intendevo che il teorema che esprime il criterio del confronto asintotico non vale più se invece di convergenza assoluta si parla di convergenza semplice.
Temo di no.
Allora sapresti come dimostrarlo?
Per la 4) comincia imponendo che il limite del termine n-esimo sia 0, che diventa $|x|<1/2$ (perché?)
Non credo di aver capito. Intendi forse che se $|x|<1/2$ allora la condizione necessaria di convergenza è soddisfatta mentre per $|x|\ge 1/2$ non lo è e quindi la serie diverge? Come hai trovato questo risultato?
La prima parte va bene, però quando applichi il teorema della radice devi applicarlo a $\frac{x^n}{1+|y|^n}$, non a $(|x/y|)^n$!
Ma scusa non posso dimostrare che la serie che ha come termine generale $(|x/y|)^n$ converge e poi per confronto anche $\frac{x^n}{1+|y|^n}$ converge?
"Borto":
Mi sono espresso male: intendevo che il teorema che esprime il criterio del confronto asintotico non vale più se invece di convergenza assoluta si parla di convergenza semplice.
Allora ok.
Allora sapresti come dimostrarlo?
Direi che si può fare così: Leibniz è l'idea giusta, vediamo come.
Per dimostrare che $1-nln(1+1/n)$ è decrescente si può fare così: $1-nln(1+1/n)=ln(e/(1+1/n)^n)$ dato che $(1+1/n)^n$ è crescente (lo sai vero?), $e/(1+1/n)^n$ sarà decrescente, così come $ln(e/(1+1/n)^n)$, quindi anche $1-nln(1+1/n)$, fine.
Non credo di aver capito. Intendi forse che se $|x|<1/2$ allora la condizione necessaria di convergenza è soddisfatta mentre per $|x|\ge 1/2$ non lo è e quindi la serie diverge? Come hai trovato questo risultato?
Esatto, affinché il termine n-esimo tenda a 0 è necessario che ciò che sta dentro alla radice tenda a 0, che è somma di 2 cose positive, quindi l'unica possibilità è che entrambe tendano a 0, se imponi la condizione su $x^(2n)$, hai che $|x|<1$, se la imponi su $|2x|^n$, hai che $|x|<1/2$, dato che devono valere entrambe, intersechi la soluzione e ottieni $|x|<1/2$.
Fin'ora hai escluso che converga per $|x|>=1/2$, ora devi vedere se veramente converge per $|x|<1/2$ (suggerimento: usa il criterio della radice).
Ma scusa non posso dimostrare che la serie che ha come termine generale $(|x/y|)^n$ converge e poi per confronto anche $\frac{x^n}{1+|y|^n}$ converge?
In parte, nel senso che, la parte in cui dici se $(|x/y|)^n$ converge, allora $\frac{x^n}{1+|y|^n}$ converge, va bene, ma te hai affermato che è un se e solo se, mentre può capitare che la prima diverga, ma la seconda continua a convergere.
P.S. Non mettere troppa carne al fuoco, se hai altre cose da chiedere fai un favore a tutti e chiedile in un nuovo post, così chi risponde non deve fare delle risposte troppo lunghe.
Ho capito, grazie mille 
Chiedo scusa, io al contrario pensavo che tenere tutto in un unico post fosse più comodo
P.S. Non mettere troppa carne al fuoco, se hai altre cose da chiedere fai un favore a tutti e chiedile in un nuovo post, così chi risponde non deve fare delle risposte troppo lunghe.
Chiedo scusa, io al contrario pensavo che tenere tutto in un unico post fosse più comodo
Non so se è una cosa condivisa ma almeno io personalmente preferisco dare risposte brevi, mi trovo meglio.
@otta96 ho utilizzato il criterio della radice per risolvere l'esercizio, come da te suggerito, ma non so se ho fatto nel modo giusto. Ho fatto
$L(x) = lim_{n\to\infty} (x^{2n}+|2x|^n)^{\frac{1}{2n}} = lim_{n\to\infty}(x^{2n}(1+\frac{|2x|^n}{x^{2n}}))^{\frac{1}{2n}} = lim_{n\to\infty} x(1+\frac{|2x|^n}{x^{2n}})^{\frac{1}{2n}} $
A questo punto devo dividere i casi $0
$L(x) = lim_{n\to\infty} x(1+\frac{2}{x^{n}})^{\frac{1}{2n}} $ se $0
questi limiti fanno entrambi $x\cdot 1$, giusto?
$L(x) = lim_{n\to\infty} (x^{2n}+|2x|^n)^{\frac{1}{2n}} = lim_{n\to\infty}(x^{2n}(1+\frac{|2x|^n}{x^{2n}}))^{\frac{1}{2n}} = lim_{n\to\infty} x(1+\frac{|2x|^n}{x^{2n}})^{\frac{1}{2n}} $
A questo punto devo dividere i casi $0
$L(x) = lim_{n\to\infty} x(1+\frac{2}{x^{n}})^{\frac{1}{2n}} $ se $0
questi limiti fanno entrambi $x\cdot 1$, giusto?
Sarebbe giusto se $(|2x|/x^2)^n=(2/|x|)^n$ tendesse a $0$, ovvero se $|x|>2$, che però va contro la nostra ipotesi, mentre invece se raccoglievi l'altro termine succedeva questo: $sqrt|2x|(1+(x^2/|2x|)^n)^(1/2n)=sqrt|2x|(1+(|x|/2)^n)^(1/2n)$, ora dato che $|x|<1/2$ per ipotesi, si ha che $(1+(x^2/|2x|)^n)^(1/n)$ tende a 1, allora il limite del criterio della radice tende a $sqrt|2x|$, che minore di $1$ se $|x|<1/2$, che è proprio la nostra ipotesi, quindi la serie converge sse $|x|<1/2$.
P.S. A volte salto un po' di passaggi, chiedi pure se qualcosa non è chiaro!
P.S. A volte salto un po' di passaggi, chiedi pure se qualcosa non è chiaro!
Tutto chiaro
Per l'altra serie ho seguito il tuo consiglio, ho applicato il criterio della radice direttamente a $\frac{x^n}{1+|y|^n}$ e ho ottenuto che $lim_{n\to\infty} (\frac{x^n}{1+|y|^n})^(1/n) = x/|y|$, quindi la serie converge semplicemente se $x<|y|$ e converge assolutamente se $|x|<|y|$ (se non ho sbagliato qualcosa). Per $x=y$ si ha $sum_{n=0}^{\infty} x^n/(1+|x|^n) \le sum_{n=0}^{infty} x^n/(|x|^n)$ che però diverge, quindi non è utile come stima. Se si prova invece con il criterio della radice il limite è 1, quindi non si può dire niente. Non ne vengo a capo :/
Per l'altra serie ho seguito il tuo consiglio, ho applicato il criterio della radice direttamente a $\frac{x^n}{1+|y|^n}$ e ho ottenuto che $lim_{n\to\infty} (\frac{x^n}{1+|y|^n})^(1/n) = x/|y|$, quindi la serie converge semplicemente se $x<|y|$ e converge assolutamente se $|x|<|y|$ (se non ho sbagliato qualcosa). Per $x=y$ si ha $sum_{n=0}^{\infty} x^n/(1+|x|^n) \le sum_{n=0}^{infty} x^n/(|x|^n)$ che però diverge, quindi non è utile come stima. Se si prova invece con il criterio della radice il limite è 1, quindi non si può dire niente. Non ne vengo a capo :/
"Borto":
$lim_{n\to\infty} (\frac{x^n}{1+|y|^n})^(1/n) = x/|y|$
Fermo lì, chi te lo dice che il limite è questo?
la x si tira fuori e il limite che rimane fa $1/|y|$, mi sbaglio?
Motiva la tua risposta.
Premettendo che non sono proprio sicuro che sia giusto, ho fatto
$lim_{n\to\infty} (1+|y|^n)^(1/n) = lim_{n\to\infty} |y|(1+1/(|y|^n))^(1/n) = |y|$ perchè l'espressione dentro alle parentesi tende a 1. Quindi alla fine tutto il limite tende a $1/|y|$.
Spero di non aver scritto sciocchezze
$lim_{n\to\infty} (1+|y|^n)^(1/n) = lim_{n\to\infty} |y|(1+1/(|y|^n))^(1/n) = |y|$ perchè l'espressione dentro alle parentesi tende a 1. Quindi alla fine tutto il limite tende a $1/|y|$.
Spero di non aver scritto sciocchezze
Se l'espressione dentro le parentesi tendesse a 0, non potresti concludere nulla, ma forse intendevi che tende a 1, però questo non è detto, infatti è vero solo se $|y|>1$, in questo caso puoi concludere come hai fatto tu, altrimenti no.
Se $|y|<1$ hai che $x^n/(1+|y|^n)1$, se invece $|x|=1$ (sempre nell'ipotesi $|y|<1$) oppure $|y|=1$ la condizione necessaria per la convergenza non è soddisfatta, quindi diverge.
ma forse intendevi che tende a 1
Esatto, come al solito sbaglio sempre a scrivere qualcosa. Correggo subito.
è vero solo se |y|>1
Non mi è chiaro perchè
se invece |x|=1 (sempre nell'ipotesi |y|<1) oppure |y|=1 la condizione necessaria per la convergenza non è soddisfatta, quindi diverge.
Forse intendevi "sempre nell'ipotesi $|y|<1$"
"Borto":
Non mi è chiaro perchè
Perché altrimenti il denominatore non tende all'infinito.
Ad esempio, prova a prendere $y=1/2$, ti accorgerai che quel "pezzo" di limite tende a $2$ piuttosto che a $1$.
Forse intendevi "sempre nell'ipotesi $|y|<1$"
Quello che intendevo era di mettere insieme 2 casi con la stessa conclusione (cioè la serie diverge):
1)stavamo discutendo cosa succedeva per $|y|<1$, al variare della $x$, e avevamo già visto i casi $|x|<1$ e $|x|>1$, mancava solo $|x|1=$, che è proprio il caso 1,
2)a questo punto abbiamo esaminato completamente i casi $|y|>1$ (quello facile), $|y|<1$, manca $|y|=1$, che è esattamente il caso 2.
Spero di essere stato più chiaro.
P.S. Mi sa che manca anche un altro caso (mi sta fatica rileggermi tutto, eventualmente avrò solo ripetuto qualcosa di già detto): se$|x|=|y|>1$, in questo caso il termine n-esimo non tende a $0$, quindi ce la sbrighiamo velocemente.
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