Serie potenze complessa

[Gost91]

\(\displaystyle \)Salve a tutti!

Oggi ho trovato da fare questo esercizio:

Determinare raggio di convergenza della serie complessa

$\sum_{n=1}^(\infty) (n(1+i)^n(z-i)^n)/(n^2-i)$

Discutere del comportamento della serie nei punti 0,1,-i,$1/(9+i)$

Premetto di non sapere assolutamente niente al riguardo di serie complesse, quindi perdonatemi se scriverò delle idiozie.
Per prima cosa direi che ho a che fare con una serie di potenze, e già qui son problemi in quanto durante il primo modulo di analisi sono state solamente accennate, dandone solo la definizione e la definizione di raggio di convergenza.
Ma il problema vero e proprio sta nel fatto che gli appunti che mi ritrovo sono abbastanza superficiali (e li ho presi per bene!) e il testo di riferimento che sto usando se le sbriga (ovviamente riferendosi solo a quelle in campo reale) in 6 misere pagine.
Quindi il motivo principale che mi spinge a scrivere sul forum è la necessità di avere delle buone dispense sulle quali possa studiare le serie di potenze in campo complesso.

Comunque credo che le informazioni che ho tra gli appunti siano sufficenti, quindi proverei a risolvere l'esercizio.
Ora, da quello che mi ricordo, per studiare una serie di potenze si studia il comportamento dei coefficenti $a_n$, quindi riportando la serie nella seguente forma (ha un nome particolare?):

$\sum_{n=1}^(\infty) (n(1+i)^n(z-i)^n)/(n^2-i)=\sum_{n=1}^(\infty) (n(1+i)^n)/(n^2-i)(z-i)^n$

Arriverei già a concludere 2 cose: il centro della serie è il punto $i$ e che quello che devo studiare è la serie

$\sum_{n=1}^(\infty) (n(1+i)^n)/(n^2-i)$

Ora per il raggio di convergenza ho 2 formule ben definite da applicare che sono

$r=(\lim_{n \to \infty}root(n)(|a_n|))^(-1)$

$r=\lim_{n \to \infty}(|a_n|)/(|a_(n+1)|)$

e per fortuna sono riuscito a reperire le dimostrazioni di quest'ultime.
Quindi principalmente il problema consiste nel calcolare $|a_n|$ per determinare il raggio di convergenza.

Ora se non erro, $|a_n|$ dovrebbe essere $sqrt(Re^2(a_n)+Im^2(a_n))$ quindi nel mio caso:

$a_n= (n(1+i)^n)/(n^2-i)$

$Re(a_n)=$???

$Im(a_n)=$???

E qui mi blocco, praticamente all'inizio dell'esercizio.
Ora mi piacerebbe sapere se c'ho chiappato qualcosa o se sono completamente fuori strada.
Nel caso sia questa la strada da seguire, se qualcuno avesse qualche consiglio da darmi mi farebbe un gran piacere in quanto ancora non mastico particolarmente bene i numeri complessi...
Come sempre grazie a tutti per la disponibilità!

[Gost91]

Anche se le espressioni che ho ottenuto mi lasciano parecchio perplesso, sono arrivato questo punto:

$(n(1+i)^n)/(n^2-1)=(n(1+i)^n)/(n^4+1)(n^2+i)=(n\e^(nlog(1+i)))/(n^2-1)(n^2+i)=...$

$log(1+i)=lnsqrt(2)+i(pi/4+2kpi)$

$...(n\e^(n(lnsqrt(2)+pi/4i+2kpii)))/(n^4+1)(n^2+i)=(n^2+i)/(n^4+1)nsqrt(2)^n\e^(i(pi/4+2kpi))=$

$(n^2+i)/(n^4+1)nsqrt(2)^n(cos(pi/4+2kpi)+isin(pi/4+2kpi))=$

$(n^2+i)/(n^4+1)nsqrt(2)^n(sqrt(2)/2+isqrt(2)/2)=$

$(n^2+i)/(n^4+1)(n^n+i\n^n)=(n^(2+n)-n^(n)+i\n^(2+n)+i\n^n)/(n^4+1)$

Da cui:

$Re(a_n)=(n^(2+n)-n^n)/(n^4+1)$

$Im(a_n)=(n^(2+n)+n^n)/(n^4+1)$

Quindi ora mi calcolerei il modulo:

$|a_n|=sqrt(((n^(2+n)-n^n)/(n^4+1))^2+((n^(2+n)+n^n)/(n^4+1))^2)=$

$sqrt((n^(4+2n)+n^(2n)-2n^(2+2n))/(n^8+1+2n^4)+(n^(4+2n)+n^(2n)+2n^(2+2n))/(n^8+1+2n^4))=$

$sqrt((2n^(4+2n)+2n^(2n))/(n^8+1+2n^4))=sqrt((2n^(2n)(2n^4+1))/(n^4+1)^2)=$

$sqrt(2n^(2n)(2n^4+1))/(n^4+1)$

Molto probabilmente ci sarà una miriade di errori in questo post, ma a parte questo secondo me questa non è la strada giusta per risolvere l'esercizio...

[ciampax]

"Gost91":\(\displaystyle \)Salve a tutti!

Oggi ho trovato da fare questo esercizio:

Determinare raggio di convergenza della serie complessa

$\sum_{n=1}^(\infty) (n(1+i)^n(z-i)^n)/(n^2-i)$

Discutere del comportamento della serie nei punti 0,1,-i,$1/(9+i)$

Premetto di non sapere assolutamente niente al riguardo di serie complesse...

Senti, io sono totalmente dalla tua parte e lo sai, ma non puoi saltartene di palo in frasca da un esercizio ad un altro senza leggerti, prima, un minimo di teoria! Ora, sinceramente, non ho voglia di leggere tutto quello che hai scritto (che probabilmente, considerando il tuo buon senso, è pure corretto), ma ti chiedo: ti pare questo il modo di studiare?

EDIT: ok, ho guardato, e mi sono reso conto di una cosa: davvero non sai calcolare questa roba?

[tex]|a_n|=\left|\frac{n(1+i)^n}{n^2-i}\right|$[/tex]?

ma le cose che mi avevi chiesto le hai ricevute?

[Gost91]

Certo che no ciampax!
Il fatto è che non ho materiale da studiare (infatti lo ho anche scritto nel messaggio ).
Comunque ho notato che qui sul forum nella sezione dispense, esercizi etc qualche buon link c'è...
Con la poca teoria che ho assimilato ho tentato di svolgere l'esercizio, ma purtroppo (e ovviamente) ho fallito...
La voglia di studiare c'è, ma mi manca il "da studiare" !
Ora domani mi metto all'opera e guardo un po' di raccattare un po' di pdf che trattano l'argomento, per poi riproporre lo stesso esercizio appena mi reputerò sufficentemente pronto...

[ciampax]

Ma tu dove studi? Ti do' un consiglio: cerca gli appunti sul sito del Politecnico di Torino di Fabio Nicola. Sono fatti molto bene.

[Gost91]

No!! Non mi è stato inviato l'ultimo messaggio!
Ti fo un riassuntino.
Dicevo che durante il corso di analisi 1 (ma anche durante il corso di analisi 2) per il modulo di un numero complesso mi è stata data la seguente definizione:
dato $z=a+ib$ si definisce $|z|=sqrt(a^2+b^2)$.
Ora io un'occhiata al tuo materiale gliel'ho data, però ho trascurato la definizione di modulo che usa (che credo sia ben diversa da quella che ho sempre applicato io), cioè $|z|=sqrt(z\barz)$.
Io non sono in grado di dire se cambia qualcosa tra il calcolo del modulo del termine generale di una serie complessa e un numero complesso, ma intuitivamente ho creduto fosse un po' la stessa cosa quindi ho applicato la definizione che ho sempre usato.
Comunque fatto sta che su una cosa una non ci piove, un paio di giornate di teoria me le devo fare assolutamente.
Per quanto riguarda il materiale che utilizzo per studiare posso dirti che come testo di riferimento ho il Bramanti Pagani Salsa (che da quanto ho capito non è utilizzato solo da noi a Firenze) e poi utilizzo gli appunti che ho preso durante il corso misti a quelli di altri miei compagni, per vedere quali sono gli argomenti da approfondire.
Io ora non ho mai sentito nominare Fabio Nicola, ma sono certo che qualcosina in più rispetto al Bramanti Pagani Salsa sulle serie di potenze avrà da dirlo.
Comunque ciampax io non so come ringraziarti, come si direbbe dalle mie parti "me la svolti sempre"!

[Gost91]

Buona sera a tutti!
Volevo riaprire questo thread in quanto volevo provare a terminare l'esercizio.
Io ho provato a ricontrollare a i calcoli necessari a separare $\Re(a_n)$ e $\Im(a_n)$ ma a mio avviso (vi garantisco che è poco affidabile ) mi pare che non ci siano errori...
Ora, provando a applicare la formula equivalente $|z|=sqrt(z\bar(z))$ per il calcolo del modulo di $a_n$, ottengo:

$a_n=(n^(2+n)-n^n)/(n^4+1)+(n^(2+n)+n^n)/(n^4+1)i$

$\bar(a_n)=(n^(2+n)-n^n)/(n^4+1)-(n^(2+n)+n^n)/(n^4+1)i$

$|a_n|=sqrt([(n^(2+n)-n^n)/(n^4+1)+(n^(2+n)+n^n)/(n^4+1)i][(n^(2+n)-n^n)/(n^4+1)-(n^(2+n)+n^n)/(n^4+1)i])=$

$sqrt([(n^(2+n)-n^n)/(n^4+1)]^2+[(n^(2+n)+n^n)/(n^4+1)]^2)=$

$sqrt((n^(4+2n)+n^(2n)-n^(2+2n)+n^(4+2n)+n^(2n)+n^(2+2n))/(n^4+1)^2)=$

$sqrt((2n^(2n)(n^4+1))/(n^4+1)^2)=sqrt((2n^(2n))/(n^4+1))=sqrt(2/(n^4+1))n^n$

Ora, supponendo i calcoli precedenti corretti (anche se credo sia una supposizione estremamente ottimistica), procedo con il calcolo del raggio di convergenza.

$\lim_(n\to\infty)\root(n)(sqrt((2)/(n^4+1))n^n)=\lim_(n\to\infty)\root(2n)(2/(n^4+1))n=0$

Arrivando a affermare che il raggio di convergenza risulta $infty$.
Quindi concluderei l'esercizio rispondendo che la serie converge puntualmente (e uniformemente) in tutto il piano complesso, quindi in tutti punti elencati converge puntualmente.

Siccome sono una frana a fare i conti e, inoltre, con i numeri complessi ci vado ancora poco d'accordo, vorrei sapere se almeno concettualmente ci sono, in quanto la mia più grossa preoccupazione sta nel fatto di non essere sicuro al 100% che il metodo generale per risolvere un esercizio come questo sia quello che ho seguito io, cioè:
-individuare $a_n$ e il centro della serie;
-separare parte reale e immaginaria di $a_n$ per poter calcolare $|a_n|$;
-calcolare $|a_n|$;
-calcolare il raggio di convergenza;

Poi se qualcuno ha il buon cuore di ricontrollare la miriade di conti effettuati, è ben accetto, così sarei anche in grado di capire se le ultime considerazioni che ho fatto sono corrette.
Come sempre, grazie mille a tutti !!

[Gost91]

rinnovo l'invito a dare un'occhiata alla conclusione che ho postato

[ciampax]

Gost, tu però te le devi guardare le proprietà del modulo di un numero complesso: se $z,\ w$ sono numeri complessi, allora $|z\cdot w|=|z|\cdot |w|,\ |z/w|={|z|}/{|w|}$ e pertanto

$|a_n|=|{n(1+i)^n}/{n^2-i}|={n|(1+i)|^n}/{|n^2-i|}={n\cdot 2^{n/2}}/{n^4+1}$

[Gost91]

I numeri complessi saranno la mia rovina...
Sarà meglio ridare un'occhiata al materiale...

[Giuly191]

"ciampax":
$|a_n|=|{n(1+i)^n}/{n^2-i}|={n|(1+i)|^n}/{|n^2-i|}={n\cdot 2^{n/2}}/{n^4+1}$

Non ti sei perso una radice a denominatore? $|n^2-i|=sqrt(n^4+1)$.

[ciampax]

Sì, me la sono persa.