Serie potenze
Salve a tutti!
Oggi volevo provare a risolvere il seguente esercizio:
Studiare il comportamento della serie di potenze
$\sum_{n=0}^infty (2^n+2)/(n+n^2+1)(x+2)^n$
Per prima cosa individuo il centro della serie, che dovrebbe essere $x=-2$
Ora mi determino il raggio di convergenza mediante la formula di Cauchy-Hadamard:
$lim_(n->infty)root(n)((2^n+2)/(n+n^2+1))\~~lim_(n->infty)root(n)(2^n/n^2)\~~lim_(n->infty)(2/root(n)(n^2))=2/1=2$
Quindi direi che il raggio di convergenza è $r=1/2$, da cui ricavo che la serie converge puntualmente nell'intervallo $(-5/2,-3/2)$.
Ora verifico quello che succede agli estremi di tale intervallo:
*Per $x=-5/2$
$\sum_{n=0}^infty (2^n+2)/(n+n^2+1)(-5/2+2)^n=\sum_{n=0}^infty (2^n+2)/(n+n^2+1)(-1/2)^n$
Verifico la condizione necessaria affinchè la serie converga:
$\lim_(n->infty) (2^n+2)/(n+n^2+1)(-1/2)^n\~~\lim_(n->infty) (2^n(-1)^n)/(2^n)=\lim_(n->infty) (-1)^n$
Siccome il termine generale non tende a 0 per n tendente all'infinito, posso dire che nel punto $x=-5/2$ la serie di potenze non converge.
*Per $x=-3/2$
$\sum_{n=0}^infty (2^n+2)/(n+n^2+1)(-3/2+2)^n=\sum_{n=0}^infty (2^n+2)/(n+n^2+1)(1/2)^n$
Verifico la condizione necessaria affinchè la serie converga:
$\lim_(n->infty) (2^n+2)/(n+n^2+1)(1/2)^n\~~\lim_(n->infty) (2^n)/(2^n)=1$
E anche in questo caso direi che non converge, quindi concludo che la serie di potenze converge puntualmente nell'intervallo $(-5/2,-3/2)$.
Per verificare la convergenza totale devo verificare che:
$|f_n(x)|<=a_n$ con $\sum a_n$ convergente.
Per prima cosa mi verifico la convergenza della serie dei coefficenti:
$lim_(n->infty) (2^n+2)/(n+n^2+1)\~~lim_(n->infty) 2^n/(n^2)=infty$
Siccome $\sum a_n$ non può convergere, posso subito affermare che la serie di potenze non converge totalmente.
Ora le domande che mi passano per la testa sono 2:
1)Ho svolto correttamente l'esercizio?
2)Dagli appunti che ho preso durante il corso ho trovato che all'interno dell'insieme di convergenza una serie di potenze converge assolutamente e uniformemente, sicchè in prima battuta mi verrebbe d'affermare che in $(-5/2, -3/2)$ si ha convergenza uniforme (e mi tornebbe anche da un punto di vista logico), ma prima di concludere una cosa del genere mi piacerebbe avere una vostra conferma, in quanto non ho nessuna dimostrazione per tale affermazione.
Come sempre grazie in anticipo a tutti!
Oggi volevo provare a risolvere il seguente esercizio:
Studiare il comportamento della serie di potenze
$\sum_{n=0}^infty (2^n+2)/(n+n^2+1)(x+2)^n$
Per prima cosa individuo il centro della serie, che dovrebbe essere $x=-2$
Ora mi determino il raggio di convergenza mediante la formula di Cauchy-Hadamard:
$lim_(n->infty)root(n)((2^n+2)/(n+n^2+1))\~~lim_(n->infty)root(n)(2^n/n^2)\~~lim_(n->infty)(2/root(n)(n^2))=2/1=2$
Quindi direi che il raggio di convergenza è $r=1/2$, da cui ricavo che la serie converge puntualmente nell'intervallo $(-5/2,-3/2)$.
Ora verifico quello che succede agli estremi di tale intervallo:
*Per $x=-5/2$
$\sum_{n=0}^infty (2^n+2)/(n+n^2+1)(-5/2+2)^n=\sum_{n=0}^infty (2^n+2)/(n+n^2+1)(-1/2)^n$
Verifico la condizione necessaria affinchè la serie converga:
$\lim_(n->infty) (2^n+2)/(n+n^2+1)(-1/2)^n\~~\lim_(n->infty) (2^n(-1)^n)/(2^n)=\lim_(n->infty) (-1)^n$
Siccome il termine generale non tende a 0 per n tendente all'infinito, posso dire che nel punto $x=-5/2$ la serie di potenze non converge.
*Per $x=-3/2$
$\sum_{n=0}^infty (2^n+2)/(n+n^2+1)(-3/2+2)^n=\sum_{n=0}^infty (2^n+2)/(n+n^2+1)(1/2)^n$
Verifico la condizione necessaria affinchè la serie converga:
$\lim_(n->infty) (2^n+2)/(n+n^2+1)(1/2)^n\~~\lim_(n->infty) (2^n)/(2^n)=1$
E anche in questo caso direi che non converge, quindi concludo che la serie di potenze converge puntualmente nell'intervallo $(-5/2,-3/2)$.
Per verificare la convergenza totale devo verificare che:
$|f_n(x)|<=a_n$ con $\sum a_n$ convergente.
Per prima cosa mi verifico la convergenza della serie dei coefficenti:
$lim_(n->infty) (2^n+2)/(n+n^2+1)\~~lim_(n->infty) 2^n/(n^2)=infty$
Siccome $\sum a_n$ non può convergere, posso subito affermare che la serie di potenze non converge totalmente.
Ora le domande che mi passano per la testa sono 2:
1)Ho svolto correttamente l'esercizio?
2)Dagli appunti che ho preso durante il corso ho trovato che all'interno dell'insieme di convergenza una serie di potenze converge assolutamente e uniformemente, sicchè in prima battuta mi verrebbe d'affermare che in $(-5/2, -3/2)$ si ha convergenza uniforme (e mi tornebbe anche da un punto di vista logico), ma prima di concludere una cosa del genere mi piacerebbe avere una vostra conferma, in quanto non ho nessuna dimostrazione per tale affermazione.
Come sempre grazie in anticipo a tutti!
Risposte
"Gost91":
Verifico la condizione necessaria affinchè la serie converga:
$\lim_(n->infty) (2^n+2)/(n+n^2+1)(-1/2)^n\~~\lim_(n->infty) (2^n(-1)^n)/(2^n)=\lim_(n->infty) (-1)^n$
Verifico la condizione necessaria affinchè la serie converga:
$\lim_(n->infty) (2^n+2)/(n+n^2+1)(1/2)^n\~~\lim_(n->infty) (2^n)/(2^n)=1$
Questi due limiti sono sbagliati: in entrambi i casi hai eliminato $n^2$ a denominatore che invece resta dov'è!
Inoltre una serie converge uniformemente su ogni intervallo chiuso e limitato contenuto nell'intorno di convergenza puntuale.
Quando ero piccino mi raccontavano sempre che la gatta frettolosa fece i gattini ciechi...
$\lim_(n->infty)(2^n+2)/(n+n^2+1)(-1/2)^n=\lim_(n->infty)(2^n+2)/(n+n^2+1)(-1)^n/2^n~~\lim_(n->infty)(2^n)/(n^2)(-1)^n/2^n=\lim_(n->infty)(-1)^n/n^2=0$
$\lim_(n->infty)(2^n+2)/(n+n^2+1)(1/2)^n=\lim_(n->infty)(2^n+2)/(n+n^2+1)1/2^n~~\lim_(n->infty)(2^n)/(n^2)1/2^n=\lim_(n->infty)1/n^2=0$
In entrambi i punti la serie di potenze può convergere, sicchè procedo con la verifica:
*Per $x=-5/2$
$\lim_(n->infty)(2^n+2)/(n+n^2+1)(-1/2)^n~~\lim_(n->infty)(-1)^n/n^2$
Sia per Leibniz, sia per il criterio di convergenza assoluta, la serie converge.
*Per $x=-3/2$
$\lim_(n->infty)(2^n+2)/(n+n^2+1)(1/2)^n~~\lim_(n->infty)1/n^2$
La serie converge in quanto è asintotica a una serie armonica convergente.
Quindi correggendo le conclusioni direi che la serie di potenze converge puntualmente in $[-5/2,-3/2]$ e uniformemente in $(-5/2,-3/2)$
$\lim_(n->infty)(2^n+2)/(n+n^2+1)(-1/2)^n=\lim_(n->infty)(2^n+2)/(n+n^2+1)(-1)^n/2^n~~\lim_(n->infty)(2^n)/(n^2)(-1)^n/2^n=\lim_(n->infty)(-1)^n/n^2=0$
$\lim_(n->infty)(2^n+2)/(n+n^2+1)(1/2)^n=\lim_(n->infty)(2^n+2)/(n+n^2+1)1/2^n~~\lim_(n->infty)(2^n)/(n^2)1/2^n=\lim_(n->infty)1/n^2=0$
In entrambi i punti la serie di potenze può convergere, sicchè procedo con la verifica:
*Per $x=-5/2$
$\lim_(n->infty)(2^n+2)/(n+n^2+1)(-1/2)^n~~\lim_(n->infty)(-1)^n/n^2$
Sia per Leibniz, sia per il criterio di convergenza assoluta, la serie converge.
*Per $x=-3/2$
$\lim_(n->infty)(2^n+2)/(n+n^2+1)(1/2)^n~~\lim_(n->infty)1/n^2$
La serie converge in quanto è asintotica a una serie armonica convergente.
Quindi correggendo le conclusioni direi che la serie di potenze converge puntualmente in $[-5/2,-3/2]$ e uniformemente in $(-5/2,-3/2)$
Uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in quello che hai scritto! Ma hai letto quello che avevo scritto prima?
Sisi,ma evidentemente mi sono espresso male...
Vediamo se così è meglio:
Converge uniformente in $[a,b]$ per ogni $a>\-5/2$ per ogni $b<\-3/2$
Vediamo se così è meglio:
Converge uniformente in $[a,b]$ per ogni $a>\-5/2$ per ogni $b<\-3/2$
Meglio $[a,b]\subset(-5/2,-3/2)$. 
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