Serie parametriche x app. R

[alessandro.roma.1654]

$\sum_{k=1}^infty (4^(x+2))^n/(2n^2 7^n)$

il mio svolgimento è il seguente:

uso il criterio della radice

$root(n)((4^(x+2))^n/(2n^2 7^n))=1/(root(n)(2n^2))((4)^(x+2))/7$

poniamo il limite e ricordiamoci che la nostra serie converge se il limite è $0<=L<1$
quindi

$\lim_{n \to \infty}1/(root(n)(2n^2))=1$

quindi rimane solo

$((4)^(x+2))/7$ visto che sono un po arrugginito con gli esponenziali ditemi voi se sbaglio qualcosa
quindi ponendo la disuguaglianza per la nostra convergenza abbiamo

$((4)^(x+2))/7<1$ usando identità scriviamo $(e^(ln(4)^(x+2)))/(e^ln(7)) e^((x+2)(ln(4))/ln(7))
adesso avendo stessa base confronto solo gli esponenti dell esponenziale e sapendo che $ln1=0$

$(x+2)ln4/ln7<0$

la disuguaglianza infine mi porta a dire che la serie converge per ogni $x<-2$
ma sul libro ce scritto che converge per $x<=ln7/ln4-2$ dove sbaglio ??????

[stormy1]

$4^(x+2)<7$
$x+2 dalla formula del cambiamento di base $log_4(7)=ln7/ln4$

[alessandro.roma.1654]

Grazie stormy ho capito l errore che ho commesso una piccola distrazione nella proprietaì del logaritmi infatti
se considero la disuguaglianza in questo modo $4^(x+2)<7$ e semplice e mi viene il risultato del libro cioè facendo tutti i passaggi esce :

$e^((x+2)ln(4)) (x+2) x
se invece considero come avevo fatto prima

$(4^(x+2))/7<1$

$e^((x+2)ln(4))*e^(-ln(7)) (x+2)ln(4)-ln(7) xln(4)+2ln(4)-ln(7) xln(4)+2ln(4)/ln(7)
in quest ultimo passaggio ho commesso l errore infatti dovrebbe essere $2ln(4)-ln(7)=2ln(4/7)$ che è una cosa ben diversa ed inutile . Invece io avrei dovuto fare cosi $(x+2)ln(4) x svelato il gravissimo errore di distrazione grazie mille stormy speriamo che non li faccio in sede d esame !!!