Serie parametriche con fattoriali: come si determina la X?
Determinare il valore del parametro X appartenente all'insieme dei numeri reali R affinchè le seguenti serie risultino convergenti.
1) serie che va da n=1 a +infinito di
$ (n^(xn)) / (n!) $
2) serie che va da n=1 a +infinito di
$ ((n^2)(x^n)) / (n!) $
Io ho provato ad utilizzare il metodo del rapporto in entrambi i casi, in tal modo il fattoriale lo elimino, pero' poi devo discutere questo limite (per il primo caso):
$ lim (n+1)^[x(n+1)] /(n+1) * 1/ n^(xn) $
e dovrei dire se lim .. < 1 , quindi per x < .. ,allora la serie converge.
Sapete risolverle per favore, esplicando passo passo, proprietà e criteri utilizzati?
NB: Non so se questa sia la linea risolutiva corretta, o se tramite altre proprieta' ci si riconduce a una geometrica o armonica ( o telescopica? non mi e' mai capitato questo caso pero'!), che sono piu' semplici da discutere.
Grazie!!! Esame a breve!! Come tutti del resto!
Buona fortuna anche a voi!
1) serie che va da n=1 a +infinito di
$ (n^(xn)) / (n!) $
2) serie che va da n=1 a +infinito di
$ ((n^2)(x^n)) / (n!) $
Io ho provato ad utilizzare il metodo del rapporto in entrambi i casi, in tal modo il fattoriale lo elimino, pero' poi devo discutere questo limite (per il primo caso):
$ lim (n+1)^[x(n+1)] /(n+1) * 1/ n^(xn) $
e dovrei dire se lim .. < 1 , quindi per x < .. ,allora la serie converge.
Sapete risolverle per favore, esplicando passo passo, proprietà e criteri utilizzati?
NB: Non so se questa sia la linea risolutiva corretta, o se tramite altre proprieta' ci si riconduce a una geometrica o armonica ( o telescopica? non mi e' mai capitato questo caso pero'!), che sono piu' semplici da discutere.
Grazie!!! Esame a breve!! Come tutti del resto!
Buona fortuna anche a voi!
Risposte
Oggi ho chiesto al mio docente l'es. n. 1)
Lui dice:
Consideriamo il termine generale della serie nei seguenti casi e ne facciamo il limite:
a) Se x=1 la frazione si riduce a un confronto tra $n^n$ e $n!$ dove $n^n$ è di ordine maggiorre rispetto a $n!$ ,quindi la serie diverge, perchè non è verificata la condizione necessaria per la convergenza.
b) Se x > 1, $n^(xn) > n^n$ quindi confrontanto sempre numeratore e denominatore la serie diverge ancora
c) Se x<1, secondo la scala degli infiniti: $n^(xn) << n!$ e quindi per la condizione necessaria per la convergenza, la serie POTREBBE convergere.
Per verificare cio' posso utilizzare il criterio del rapporto.
L'alternativa è di utilizzare la formula di Stirling $ n! = sqrt(2n pi) * e^(-1) * n^n $
Anche se ho provato a farla con Stirling ma non riesco a semplificarla.
Per l'es. 2) non riesco comunque a risolverlo.
Se avete idee.. sono bene accette.
Ciao!
Lui dice:
Consideriamo il termine generale della serie nei seguenti casi e ne facciamo il limite:
a) Se x=1 la frazione si riduce a un confronto tra $n^n$ e $n!$ dove $n^n$ è di ordine maggiorre rispetto a $n!$ ,quindi la serie diverge, perchè non è verificata la condizione necessaria per la convergenza.
b) Se x > 1, $n^(xn) > n^n$ quindi confrontanto sempre numeratore e denominatore la serie diverge ancora
c) Se x<1, secondo la scala degli infiniti: $n^(xn) << n!$ e quindi per la condizione necessaria per la convergenza, la serie POTREBBE convergere.
Per verificare cio' posso utilizzare il criterio del rapporto.
L'alternativa è di utilizzare la formula di Stirling $ n! = sqrt(2n pi) * e^(-1) * n^n $
Anche se ho provato a farla con Stirling ma non riesco a semplificarla.
Per l'es. 2) non riesco comunque a risolverlo.
Se avete idee.. sono bene accette.
Ciao!
Ciao hellokitty seguo anche io il tuo post già che ho dei problemi con la formula di stirling....
e ho mandato un messaggio per la ricerca di un file pdf....
e ho mandato un messaggio per la ricerca di un file pdf....
Ciao Tony, grazie mille!
Sto riprovando ancora.. ma.. mi sa che ai fattoriali non sto molto simpatica..
Eecondo me tutto sta nella formula di Stirling perche' cosi', anche a usare il criterio del rapporto non riesco a ottenere qualcosa di utile.
Anziche' usare il criterio del rapporto uso la formula di stirling e quindi avro':
$n^x / [(sqrt(2 pi n))*e^(-1)*n^n] = [e/sqrt(2 pi n)] *[n^x / n^n]$
Arrivata a questo punto per dire che la serie data converge, devo pero' comunque utilizzare uno dei 4 criteri per le serie a termini positivi.
- radice, non mi sembra utile
- rapporto, non riesco a risolverla
- confronto, dovrei trovare una maggiorante convergente (hai qualche idea)
- confronto asintotico, dovrei capire a cosa e' asintotico, ma non ne ho idea.
Ciao
Sto riprovando ancora.. ma.. mi sa che ai fattoriali non sto molto simpatica..
Eecondo me tutto sta nella formula di Stirling perche' cosi', anche a usare il criterio del rapporto non riesco a ottenere qualcosa di utile.
Anziche' usare il criterio del rapporto uso la formula di stirling e quindi avro':
$n^x / [(sqrt(2 pi n))*e^(-1)*n^n] = [e/sqrt(2 pi n)] *[n^x / n^n]$
Arrivata a questo punto per dire che la serie data converge, devo pero' comunque utilizzare uno dei 4 criteri per le serie a termini positivi.
- radice, non mi sembra utile
- rapporto, non riesco a risolverla
- confronto, dovrei trovare una maggiorante convergente (hai qualche idea)
- confronto asintotico, dovrei capire a cosa e' asintotico, ma non ne ho idea.
Ciao
Anche se il post l'ho aperto io credo d'aver trovato la soluzione!
Quindi ve la posto.
Lasciate perdere la formula di Stirling , almeno, io non ce l'ho fatta cosi'.
Consideriamo l'exe 1) parte c)
Applico il teorema del rapporto e dopo alcuni semplici passaggi ottengo:
$lim [(n+1)^x /(n+1) * (n+1)^(xn) /n^(xn)]$
poi da una parte tengo tutti gli esponenti con n e dall'altra tutto il resto:
$(n+1)^x / (n+1) * ((n+1)/n)^(nx)$
$(n+1)^x / (n+1)$ tende a zero per confronto gerarchico, perche' x<1 per ipotesi, il denominatore tende a +oo piu' velocemente del numeratore
$((n+1)/n)^(nx) = ((1+1/n)^n)^x$ applico il limite notevole ed ottengo e^x
quindi il lim del rapporto e' = 0* e^x = 0
Per il criterio del rapporto: 0 < 1 , quindi la serie iniziale converge.
NB: se x= 0 il criterio del rapporto non e' applicabile perche' il limite esce =1. Ma niente paura. Sostituiamo x=0 nella serie iniziale, e vediamo che esce 1/n! che converge (suppongo, non l'ho verificato!)
Exe 2)
Credo si faccia con gli stessi accorgimenti.
Dopo 3 giorni,FORSE ce l'abbiamo fatta!
Buon lavoro a tutti!
Quindi ve la posto.
Lasciate perdere la formula di Stirling , almeno, io non ce l'ho fatta cosi'.
Consideriamo l'exe 1) parte c)
Applico il teorema del rapporto e dopo alcuni semplici passaggi ottengo:
$lim [(n+1)^x /(n+1) * (n+1)^(xn) /n^(xn)]$
poi da una parte tengo tutti gli esponenti con n e dall'altra tutto il resto:
$(n+1)^x / (n+1) * ((n+1)/n)^(nx)$
$(n+1)^x / (n+1)$ tende a zero per confronto gerarchico, perche' x<1 per ipotesi, il denominatore tende a +oo piu' velocemente del numeratore
$((n+1)/n)^(nx) = ((1+1/n)^n)^x$ applico il limite notevole ed ottengo e^x
quindi il lim del rapporto e' = 0* e^x = 0
Per il criterio del rapporto: 0 < 1 , quindi la serie iniziale converge.
NB: se x= 0 il criterio del rapporto non e' applicabile perche' il limite esce =1. Ma niente paura. Sostituiamo x=0 nella serie iniziale, e vediamo che esce 1/n! che converge (suppongo, non l'ho verificato!)
Exe 2)
Credo si faccia con gli stessi accorgimenti.
Dopo 3 giorni,FORSE ce l'abbiamo fatta!
Buon lavoro a tutti!
Beh complimenti a te che c'e l'hai fatta 
Scusate ma la seconda serie come va studiata?
Io l'ho fatta con il criterio del rapporto e mi risulta convergente per ogni x reale.
A voi?
Io l'ho fatta con il criterio del rapporto e mi risulta convergente per ogni x reale.
A voi?
vado a prendere il quaderno e piu' tardi o domattina ti rispondo cosa mi veniva.
ciaoo
ps:La prima pensi sia giusta come l'ho fatta?
ciaoo
ps:La prima pensi sia giusta come l'ho fatta?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo