Serie parametrica
Ciao a tutti, devo affrontare degli esercizi in cui si chiede per quali valori del paramattro reale a la serie converge. Ad esempio ho questa serie:
$\sum_{n=1}^oo (a^n/(n^2+1))$
La mia ipotesi è di applicare il teorema della radice e il limite ottenuto porlo minore di uno. Però in questo caso (come nella maggior parte degli esercizi) mi ritrovo al denominatore una forme di indecisione $\infty^0$ (perchè si avrebbe $(n^2+1)^(1/n)$).
Vi chiedo: è giusto la mia ipotesi? come faccio a risolvere quella forma di indecisione?
Grazie per l'aiuto
$\sum_{n=1}^oo (a^n/(n^2+1))$
La mia ipotesi è di applicare il teorema della radice e il limite ottenuto porlo minore di uno. Però in questo caso (come nella maggior parte degli esercizi) mi ritrovo al denominatore una forme di indecisione $\infty^0$ (perchè si avrebbe $(n^2+1)^(1/n)$).
Vi chiedo: è giusto la mia ipotesi? come faccio a risolvere quella forma di indecisione?
Grazie per l'aiuto
Risposte
Ciao!
Ad occhio dovrebbero bastare una spruzzata di criterio del rapporto(o per meglio dire corollario di esso..),
un pizzico di convergenza assoluta
(sfruttala pure sui casi "limite" che ti salteranno fuori dal criterio appena richiamato,
ma lì usa piuttosto un opportuno confronto asintotico..)
ed una nota condizione sufficiente sulle serie a termini di segno alterno:
più avanti negli studi non ne avrai più bisogno,in casi del genere,ma allo stato attuale direi che è una strada interessante.
Comunque sappi che,per quel limite(inutile se segui il percorso suggerito..),ti sarebbe utile ricordare come,
se $a_n>0 $$AAn inNN$,potrai dir che $EElim_(n to +oo)(a_(n+1))/(a_n)rArrEElim_(n to +oo)(a_n)^(1/n)=lim_(n to +oo)(a_(n+1))/(a_n)$:
saluti dal web.
Ad occhio dovrebbero bastare una spruzzata di criterio del rapporto(o per meglio dire corollario di esso..),
un pizzico di convergenza assoluta
(sfruttala pure sui casi "limite" che ti salteranno fuori dal criterio appena richiamato,
ma lì usa piuttosto un opportuno confronto asintotico..)
ed una nota condizione sufficiente sulle serie a termini di segno alterno:
più avanti negli studi non ne avrai più bisogno,in casi del genere,ma allo stato attuale direi che è una strada interessante.
Comunque sappi che,per quel limite(inutile se segui il percorso suggerito..),ti sarebbe utile ricordare come,
se $a_n>0 $$AAn inNN$,potrai dir che $EElim_(n to +oo)(a_(n+1))/(a_n)rArrEElim_(n to +oo)(a_n)^(1/n)=lim_(n to +oo)(a_(n+1))/(a_n)$:
saluti dal web.
Quindi la mia ipotesi era sbagliata? potresti darmi qualche indicazione in più sul metodo sduggerito da te?
"ciruz86":
Quindi la mia ipotesi era sbagliata? potresti darmi qualche indicazione in più sul metodo sduggerito da te?
No,chi l'ha detto?
Volendo,usando la proposizione che t'ho suggerito nell'ultima parte del post per calcolare il limite che ti salterà fuori,
potresti adottare il(corollario al)criterio della radice per giungere all'insieme dei valori di a nel quale la tua serie numerica converge assolutamente:
per tutto il resto continua a valere quanto hai già letto..
Saluti dal web.
Ok ma il punto è che non ho capito per niente quella preposizione..
La tua serie numerica è una serie alternante per $a<0$.
Sotto queste condizioni hai che la serie:
$\sum_{n=1}^\infty|a^n/(n^2+1)|$ risulta monotòna decrescente.
Pertanto puoi provare ad applicare il Criterio di Leibniz.
Passando per il limite:
$\lim_{n \to \infty}a^n/(n^2+1)=\infty$, comunque tu scelga $a<0$.
Pertanto la serie sarà sicuramente divergente per $a<0$.
Nel caso in cui $a=0$ la tua serie numerica diverge al numero $0$, quindi è convergente.
Per $a=1$ hai una serie numerica che è minorante di una serie armonica di esponente $2$, quindi è sicuramente convergente.
Per $a>1$ la serie numerica è a termini postivi, quindi puoi applicare, come hai detto tu, il criterio della radice:
$\lim_{n \to \infty}root(n)(a^n/(n^2+1))=\lim_{n \to \infty}(a/root(n)(n^2+1))=\lim_{n \to \infty}a/n$
Comunque tu scelga $a>0$ hai che $\lim_{n \to \infty}a/n=0$.
Pertanto, per il Criterio della radice, hai una serie numerica che è certamente convergente per $a>0$.
In definitiva la tua serie numerica è convergente per $a>=0$.
Sotto queste condizioni hai che la serie:
$\sum_{n=1}^\infty|a^n/(n^2+1)|$ risulta monotòna decrescente.
Pertanto puoi provare ad applicare il Criterio di Leibniz.
Passando per il limite:
$\lim_{n \to \infty}a^n/(n^2+1)=\infty$, comunque tu scelga $a<0$.
Pertanto la serie sarà sicuramente divergente per $a<0$.
Nel caso in cui $a=0$ la tua serie numerica diverge al numero $0$, quindi è convergente.
Per $a=1$ hai una serie numerica che è minorante di una serie armonica di esponente $2$, quindi è sicuramente convergente.
Per $a>1$ la serie numerica è a termini postivi, quindi puoi applicare, come hai detto tu, il criterio della radice:
$\lim_{n \to \infty}root(n)(a^n/(n^2+1))=\lim_{n \to \infty}(a/root(n)(n^2+1))=\lim_{n \to \infty}a/n$
Comunque tu scelga $a>0$ hai che $\lim_{n \to \infty}a/n=0$.
Pertanto, per il Criterio della radice, hai una serie numerica che è certamente convergente per $a>0$.
In definitiva la tua serie numerica è convergente per $a>=0$.
La tua spiegazione è molto chiara, ma non riesco (ancora purtroppo) a capire come hai ottenuto n al denominatore.
"Demostene92":
La tua serie numerica è una serie alternante per $a<0$.
E fin quì siamo d'accordo..
"Demostene92":
Sotto queste condizioni hai che la serie:
$\sum_{n=1}^\infty|a^n/(n^2+1)|$ risulta monotòna decrescente.
Devo proprio contraddirti,mi spiace
(ammesso che,come credo d'aver capito,volessi dire che la ${|(a_n)/(n^2+1)|}_(n inNN)$ è decrescente..):
se ad esempio fosse $a=-3$
(e non è l'unico controesempio che confuta quanto affermi,perchè basterebbe fissare un arbitrario $a in(-oo,-1)$..),
avresti $EElim_(n to +oo)(|a_(n+1)|)/(|a_n|)=lim_(n to +oo)((3^(n+1))/((n+1)^2+1))/((3^n)/(n^2+1))=lim_(n to +oo)3(n^2+2n+2)/(n^2+1)=3*1=3>1rArr$
$rArrEEnu_1inNN$ $t.c.$ $(|a_(n+1)|)/(|a_n|)>1$ $AAn inNN$ $t.c.$ $n>nu_1rArr|a_(n+1)|>|a_n|$ definitivamente$rArr$
$rArr{|a_n|}_(n inNN)$ è definitivamente crescente
"Demostene92":
Pertanto puoi provare ad applicare il Criterio di Leibniz.
Eredità dell'errore di cui sopra:
tra le ipotesi di quel criterio c'è che ${|a_n|}_(n inNN)$ sia,almeno definitivamente,non crescente..
"Demostene92":
Passando per il limite:
$\lim_{n \to \infty}a^n/(n^2+1)=\infty$, comunque tu scelga $a<0$.
Non è vero(sopratutto se $a in [-1,0)$..):
basta fissare $a<-1$,
e trovi un'estratta di quella successione che diverge positivamente ed una che diverge negativamente..
Piuttosto potrai dire che essa è "infinitamente grande"(i.e. $EElim_(n to +oo)|a_n|=+oo$)$AAa in(-oo,-1)$,
per le note proprietà sulla "velocità di divergenza" di esponenziali e polinomi:
ma non ti tornerà utile più avanti..
"Demostene92":
Pertanto la serie sarà sicuramente divergente per $a<0$.
E da cosa lo deduci,ammesso(e non concesso..)che il tuo ragionamento andasse bene?
Si può dire solo che una serie assolutamente convergente lo è pure semplicemente,
ma non il contrario:
e meno che mai possiamo affermare come una serie "assolutamente divergente" è divergente..
E' però vero che,se $a in(-oo,-1)$,la ${|a_n|}_(n inNN)$ è definitivamente crescente:
per una nota condizione sufficiente sulle serie a termini di segno alterno
(e quì mi riallaccio alla tua corretta osservazione iniziale..),che come detto altrove non è il criterio di Liebnitz,
ciò basterà a dire che $AAa in(-oo,-1)$ la $sum_(n=0)^(+oo)a_n$ oscilla..
"Demostene92":
Nel caso in cui $a=0$ la tua serie numerica diverge al numero $0$, quindi è convergente.
Per $a=1$ hai una serie numerica che è minorante di una serie armonica di esponente $2$, quindi è sicuramente convergente..
Mmmhh:
vera la seconda affermazione(e pure utile..),ma la prima và riscritta meglio e,
attenzionati gli opportuni intervalli di variabilità del parametro a(i.e. $(-1,1)$..),comunque è superflua!
Piuttosto mi chiederei:
cosa accade,se a=-1
?"Demostene92":
Per $a>1$ la serie numerica è a termini postivi, quindi puoi applicare, come hai detto tu, il criterio della radice:
$\lim_{n \to \infty}root(n)(a^n/(n^2+1))=\lim_{n \to \infty}(a/root(n)(n^2+1))=\lim_{n \to \infty}a/n$
Per a>1 noteresti che $EElim_(n to +oo)((n+1)^2+1)/(n^2+1)=1rArrEElim(n to +oo)root(n)(n^2+1)=1$
(ora è chiaro,e non solo a te,il significato di quella proposizione?
)$rArrEElim_(n to +oo)(a_n)^(1/n)=..=lim_(n to +oo)a/(root(n)(n^2+1))=a/1=a>1$(1):pertanto il criterio della radice assicurerebbe che,$AAa in(1,+oo)$,la serie data diverge..
"Demostene92":
Comunque tu scelga $a>0$ hai che $\lim_{n \to \infty}a/n=0$.
Pertanto, per il Criterio della radice, hai una serie numerica che è certamente convergente per $a>0$.
Troppe cose non mi tornano:
facciamo prima a dire(poi riflettici tu,se vuoi)che la (1) resta vera,addirittura con a preso in valore assoluto,$AAa in RR$,
e se per caso $ain(-1,1)$ ci dice che quel limite è <1 e,sempre per il(corollario del)criterio richiamato,
pertanto la serie sarà assolutamente convergente,e dunque convergente,quando a varia in tale intervallo limitato.
"Demostene92":
In definitiva la tua serie numerica è convergente per $a>=0$.
Vabbè..per $ain [-1,1]$
(del comportamento della nostra serie nei due intervalli,aperti ed illimitati,ad esso complementari abbiamo già discusso..);
almeno il perchè prendo pure gli estremi,anche se non l'ho giustificato esplicitamente da nessuna parte,
tocca a voi scoprirlo se v'interessa:
il mio dovere,sul finire di questo giorno così denso di significati,credo d'averlo già fatto..
Saluti dal web.
Penso di avere capito quanto da te detto theras!
Sia chiaro, io sono un semplice studente, e devo anche dare a giorni l'esame di Matematica II, quindi mi è estremamente utile la tua correzione.
L'unica cosa, è che non mi torna il primo punto: da quanto ne so non è possibile applicare il criterio del rapporto se la serie è alternante.
Sia chiaro, io sono un semplice studente, e devo anche dare a giorni l'esame di Matematica II, quindi mi è estremamente utile la tua correzione.
L'unica cosa, è che non mi torna il primo punto: da quanto ne so non è possibile applicare il criterio del rapporto se la serie è alternante.
@Demostene
Ciao!
Chiaramente la mia "correzione" è stata fatta a te,
ma era sopratutto rivolta ad eventuali utenti ancora inesperti sull'argomento
(uno per tutti l'autore del thread ):
son contento che l'hai interpretata col giusto spirito
!
Per quanto riguarda il punto che t'è ancora oscuro,
rileggi con più attenzione il penultimo inciso del mio post precedente a questo:
lì,nemmeno troppo tra le righe,c'è la risposta..
In bocca al lupo per l'esame:
saluti dal web.
P.S.
Ma le serie di funzioni non sono argomento del tuo corso di Analisi II?
Te lo chiedo innanzitutto perchè,se lo fossero,l'esercizio proposto sarebbe standard:
ma pure perchè,devo proprio dirlo,
non riesco ad orientarmi più benissimo nell'organizzazione didattica dei nuovi ordinamenti,
ed avrei piacere d'avere qualche input per vederci più chiaro in merito..
Ciao!
Chiaramente la mia "correzione" è stata fatta a te,
ma era sopratutto rivolta ad eventuali utenti ancora inesperti sull'argomento
(uno per tutti l'autore del thread
):son contento che l'hai interpretata col giusto spirito
!Per quanto riguarda il punto che t'è ancora oscuro,
rileggi con più attenzione il penultimo inciso del mio post precedente a questo:
lì,nemmeno troppo tra le righe,c'è la risposta..
In bocca al lupo per l'esame:
saluti dal web.
P.S.
Ma le serie di funzioni non sono argomento del tuo corso di Analisi II?
Te lo chiedo innanzitutto perchè,se lo fossero,l'esercizio proposto sarebbe standard:
ma pure perchè,devo proprio dirlo,
non riesco ad orientarmi più benissimo nell'organizzazione didattica dei nuovi ordinamenti,
ed avrei piacere d'avere qualche input per vederci più chiaro in merito..
Ciao Theras!
Ti ringrazio ancora, ora rispondo alla tua domanda.
Io sono al primo anno di Ing. Elettronica a Genova e qui, per quanto riguarda matematica, la situazione è divisa didatticamente così: Matematica I & Matematica II, entrambre semestrali.
Matematica I comprende tutti gli argomenti di Analisi matematica "base" più Geometria: insiemistica, vettori, successioni, limiti, continuità, derivabilità, integrabilità, geometria dello spazio e del piano, rette, piani, curve e l'elenco potrebbe continuare.
Matematica II, invece, comprende tutti gli altri argomenti: funzioni a più variabili, eq.ni differenziali, funzioni vettoriali, integrali impropri, serie, campi vettoriali e tutta le varie cose annesse ai campi, integrali multipli e anche in questo caso l'elenco potrebbe continuare.
E' da notare comunque che quasi tutti gli altri corsi di Ing. sono strutturati didatticamente così: Analisi I & Geometria, durante il primo anno e Analisi II durante il secondo anno.
Mio malgrado (o per fortuna, dato che la matematica mi intriga) il mio corso ha, in sintesi, tutta la Matematica durante il primo anno, di conseguenza bisogna sostenere un intero esame in più sostanzialmente.
La differenza sta anche nel fatto che, ovviamente, per preparare Matematica I, è necessario conoscere sia Analisi I sia Geometria, quindi da questo punto di vista è necessario preparare per un unico esame quello che negli altri corsi si può "spalmare" in due esami.
Ti ringrazio ancora, ora rispondo alla tua domanda.
Io sono al primo anno di Ing. Elettronica a Genova e qui, per quanto riguarda matematica, la situazione è divisa didatticamente così: Matematica I & Matematica II, entrambre semestrali.
Matematica I comprende tutti gli argomenti di Analisi matematica "base" più Geometria: insiemistica, vettori, successioni, limiti, continuità, derivabilità, integrabilità, geometria dello spazio e del piano, rette, piani, curve e l'elenco potrebbe continuare.
Matematica II, invece, comprende tutti gli altri argomenti: funzioni a più variabili, eq.ni differenziali, funzioni vettoriali, integrali impropri, serie, campi vettoriali e tutta le varie cose annesse ai campi, integrali multipli e anche in questo caso l'elenco potrebbe continuare.
E' da notare comunque che quasi tutti gli altri corsi di Ing. sono strutturati didatticamente così: Analisi I & Geometria, durante il primo anno e Analisi II durante il secondo anno.
Mio malgrado (o per fortuna, dato che la matematica mi intriga) il mio corso ha, in sintesi, tutta la Matematica durante il primo anno, di conseguenza bisogna sostenere un intero esame in più sostanzialmente.
La differenza sta anche nel fatto che, ovviamente, per preparare Matematica I, è necessario conoscere sia Analisi I sia Geometria, quindi da questo punto di vista è necessario preparare per un unico esame quello che negli altri corsi si può "spalmare" in due esami.
Ragazzi siete tutti e due molto disponibilie e gentili ma mi permettete di dire che mi avete creato molta confusione, non riesco a riprrendere il filo!
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