Serie parametrica
Ciao ragazzi,
non sto riuscendo a venire a capo di questa serie parametrica. Bisogna studiarne la convergenza al variare del parametro reale x.
$\sum_{n=1}^{+infty}{\frac{(2x^2-x^4)^n}{n8^nlog(n+1)}}$
Ora, intanto ho verificato per quali valori di x tale serie può definirsi a termini positivi. Il denominatore lo è per ogni n, il numeratore, invece, è positivo solo se $2x^2-x^4>=0$, e ciò avviene per $-sqrt(2)<=x<=sqrt(2)$.
Ho poi pensato di applicare il criterio del confronto asintotico (correggetemi perché qui un po' pecco, ma credo sia il criterio più immediato)...
Per $n\to+infty$ abbiamo che:
$(2x^2-x^4)^n$ tende a $(2x^2-x^4)^n$ per riflessività, sbaglio?
$n8^nlog(n+1)$ tende a $8^n$
Quindi posso ora studiare il carattere della serie $\frac{(2x^2-x^4)^n}{8^n}$, che posso anche scrivere come $((2x^2-x^4)/8)^n$.
Posso ricondurmi a una serie geometrica $\sum_{n=1}^{+infty}q^n$ che converge quando $abs{q}<1$
Ma andando a risolvere il sistema di 2 disequazioni...
\begin{cases}\frac{2x^2-x^4}{8}<1 \\ \frac{2x^2-x^4}{8}>-1\end{cases}
...non so come procedere perché ottengo soluzioni complesse.
Mi dareste un aiuto?
non sto riuscendo a venire a capo di questa serie parametrica. Bisogna studiarne la convergenza al variare del parametro reale x.
$\sum_{n=1}^{+infty}{\frac{(2x^2-x^4)^n}{n8^nlog(n+1)}}$
Ora, intanto ho verificato per quali valori di x tale serie può definirsi a termini positivi. Il denominatore lo è per ogni n, il numeratore, invece, è positivo solo se $2x^2-x^4>=0$, e ciò avviene per $-sqrt(2)<=x<=sqrt(2)$.
Ho poi pensato di applicare il criterio del confronto asintotico (correggetemi perché qui un po' pecco, ma credo sia il criterio più immediato)...
Per $n\to+infty$ abbiamo che:
$(2x^2-x^4)^n$ tende a $(2x^2-x^4)^n$ per riflessività, sbaglio?
$n8^nlog(n+1)$ tende a $8^n$
Quindi posso ora studiare il carattere della serie $\frac{(2x^2-x^4)^n}{8^n}$, che posso anche scrivere come $((2x^2-x^4)/8)^n$.
Posso ricondurmi a una serie geometrica $\sum_{n=1}^{+infty}q^n$ che converge quando $abs{q}<1$
Ma andando a risolvere il sistema di 2 disequazioni...
\begin{cases}\frac{2x^2-x^4}{8}<1 \\ \frac{2x^2-x^4}{8}>-1\end{cases}
...non so come procedere perché ottengo soluzioni complesse.
Mi dareste un aiuto?
Risposte
Grazie tante, ma c'è una cosa che ancora non mi è chiara: tu hai studiato l'assoluta convergenza e, tramite criterio del confronto, hai determinato che anche la serie di partenza è convergente per $-2
Quindi in casi come questi è consigliabile passare direttamente alla serie dei moduli?
Be', in effetti ti fa risparmiare un po' di calcoli 
Solo un'ultima cosa: nel passare alla serie dei moduli, se non portassi l'$8^n$ all'interno del modulo (tanto è sicuramente positivo), cambierebbe qualcosa in termini di risultato? La maggiorazione diverrebbe così $\abs{(2x^2-x^4)}^n*\frac{1}{n8^nlog(n+1)}<=\abs{(2x^2-x^4)}^n$, dove il termine $(2x^2-x^4)$ sarebbe il termine della serie geometrica di forma $sum_{n>=1}q^n$. Ovviamente i risultati del sistema di disequazioni cambierebbero, e quindi suppongo non sia una cosa lecita fare quello che ho scritto, ma non capisco il motivo per cui non lo è.
Solo un'ultima cosa: nel passare alla serie dei moduli, se non portassi l'$8^n$ all'interno del modulo (tanto è sicuramente positivo), cambierebbe qualcosa in termini di risultato? La maggiorazione diverrebbe così $\abs{(2x^2-x^4)}^n*\frac{1}{n8^nlog(n+1)}<=\abs{(2x^2-x^4)}^n$, dove il termine $(2x^2-x^4)$ sarebbe il termine della serie geometrica di forma $sum_{n>=1}q^n$. Ovviamente i risultati del sistema di disequazioni cambierebbero, e quindi suppongo non sia una cosa lecita fare quello che ho scritto, ma non capisco il motivo per cui non lo è.
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