Serie parametrica
Salve, ho dei dubbi sullo studio del carattere di questa serie numerica parametrica.
∑n=1+∞ (e^(1/n)-1/)n^x
Mio svolgimento:
Questa è una serie a termini positivi e quindi tramite il criterio di Cauchy per la convergenza ho ricavato che:
x>0 il limite tende a 0 e quindi non posso dire nulla
x=0 il limite tende a -1 e quindi non converge
x<0 diverge a -inf e quindi non converge
Ho analizzato il caso di x>0 e tramite il criterio del confronto asintotico sono arrivato a dire che -1/n^x < 1/n
Siccome 1/n converge allora per il criterio menzionato prima anche la mia serie converge.
Quindi per concludere so che
x>0 converge
x<= diverge positivamente
∑n=1+∞ (e^(1/n)-1/)n^x
Mio svolgimento:
Questa è una serie a termini positivi e quindi tramite il criterio di Cauchy per la convergenza ho ricavato che:
x>0 il limite tende a 0 e quindi non posso dire nulla
x=0 il limite tende a -1 e quindi non converge
x<0 diverge a -inf e quindi non converge
Ho analizzato il caso di x>0 e tramite il criterio del confronto asintotico sono arrivato a dire che -1/n^x < 1/n
Siccome 1/n converge allora per il criterio menzionato prima anche la mia serie converge.
Quindi per concludere so che
x>0 converge
x<= diverge positivamente
Risposte
La serie è questa?
$sum_{n=1}^{+infty} frac{e^(1/n)-1}{n^x}$
$sum_{n=1}^{+infty} frac{e^(1/n)-1}{n^x}$
Se sí, converge per $x>0$
Si la serie è quella. Potresti spiegarmi gentilmente il perchè?
Perchè il numeratore è infinitesimo e il denominatore, se l'esponente non è negativo, è infinito (per $n to infty$).
.... Peró attenzione! $1/n$ NON converge... Magari ho capito male io, ma
$sum_{n=1}^{+infty} 1/(n^alpha)$ converge se e solo se $alpha>1$
.... Peró attenzione! $1/n$ NON converge... Magari ho capito male io, ma
$sum_{n=1}^{+infty} 1/(n^alpha)$ converge se e solo se $alpha>1$
Ah si perfetto! Grazie mille
non sono d'accordo sulla conclusione a cui siete giunti
per $n rarr +infty$,si ha che $e^(1/n)-1$ è asintotico a $1/n$
quindi la serie data ha lo stesso carattere della serie di termine generale $1/n^(x+1)$
per $n rarr +infty$,si ha che $e^(1/n)-1$ è asintotico a $1/n$
quindi la serie data ha lo stesso carattere della serie di termine generale $1/n^(x+1)$
@stormy
Ok, infatti io ho scritto che converge per $x>0$, che implica $x+1>1$, cioè $1/(n^{x+1})=1/n^alpha$... In pratica $alpha>1$...
ció che abbiamo scritto io e te non è in disaccordo
Ok, infatti io ho scritto che converge per $x>0$, che implica $x+1>1$, cioè $1/(n^{x+1})=1/n^alpha$... In pratica $alpha>1$...
ció che abbiamo scritto io e te non è in disaccordo
hai ragione ,abbiamo detto la stessa cosa 
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