Serie numeriche - serie resto

[Seneca1]

La serie resto di indice $n$ è la serie che si ottiene trascurando i primi $n$ addendi della serie.

Devo dimostrare che questa serie ha lo stesso carattere della serie di partenza e che la somma della serie resto è $r^("("n")") = s - s_n$ .

Sia data quindi la serie $sum_{k=1}^(oo) a_k = a_1 + a_2 + ... + a_n + ...$

La serie resto di indice $n$ della serie assegnata è :

$sum_{k = n + 1}^(oo) a_k = a_(n+1) + ... + a_(n+k) + ...$

Cominicamo a scrivere le ridotte (della serie di partenza) per $k > n$

$S_(n+1) = S_n + a_1$

$S_(n+2) = S_n + a_1 + a_2$

...

$S_(n+k) = S_n + a_1 + a_2 + ... + a_(n+k)$

Ma $r_(k)^("("n")")$ è proprio $a_1 + a_2 + ... + a_(n+k)$ (la k-esima ridotta della serie resto ($n$ fissato)).

Allora $r_(k)^("("n")") = S_(n+k) - S_n$.

Per $ k -> oo$ , $ S_(n+k) -> S $, da cui la tesi.

E' concettualmente corretto il modo in cui mi sono ricavato l'espressione di $r_(k)^("("n")")$ ? Non ho confuso qualche indice?

[Seneca1]

Sollecito un po'..

[Fioravante Patrone1]

Uhm, una osservazione "metodologica". Non vorrei che il forum avesse un influsso negativo su di te, che hai ampiamente dimostrato di essere volenteroso assaie.
Il punto è questo: hai davvero bisogno di avere conferma? Come fai a non essere sicuro di quello che hai scritto? Riguardatelo e convinciti da solo che è giusto o che è sbagliato, a seconda dei casi.

[Seneca1]

Bene accolta. Secondo me è giusto, ma gli indici mi mettono ansia.

Forse devo liberarmi del timore di sbagliare (che da un certo punto di vista è giustificato, visto che sono cose delicate)...