Serie numeriche difficili

[lorè91]

ciao a tutti, ho dei problemi con le serie numeriche:
1 $ sum_{n=1}^\infty(cos( pi/2 n))/n $
2 $sum_{n=1}^\infty(n+log n)/(n+cos n)^3$
sono due serie a segno variabili e io avrei utilizzato la convergenza assoluta, però non so bene come procedere .... devo risolvere una disequazione con i moduli? .Posso dire che la prima serie è una minorata della serie $1/n$? per la seconda invece non so proprio come fare...grazie mille a tutti

[gugo82]

Sinceramente non vedo tutta questa difficoltà.

La prima serie, eliminati gli addendi nulli (cosa che si può sempre fare senza cambiar nulla, come dimostrato qui), si può riscrivere:

[tex]$\sum_{h=1} \frac{(-1)^h}{2h}$[/tex],

che è la serie armonica alternata.

Per quanto riguarda la seconda, un confronto asintotico va più che bene per risolvere.

[lorè91]

ciao, grazie di avermi risposto..il fatto è che per me tutto è difficile
comunque sul libri non porta la serie armonica generalizzata a segni alterni ...
1/n diverge , poi c'è la serie armonica generallizzata ..
qual è quella armonica a segni alterni ? grazie mille

[gugo82]

La serie armonica a segni alterni, ossia [tex]\sum \frac{(-1)^h}{h}[/tex], è il classico esempio di serie convergente ma non assolutamente convergente... Sta su tutti i libri di Analisi I del mondo, di solito nei pressi dell'enunciato del criterio di Leibniz.