Serie (numeriche), determinazione della convergenza
Il problema non dovrebbe esser tanto difficile
Determinare dove converge
[tex]$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n}$[/tex]
Con il criterio della radice si trova che la serie converge per[tex]t<1[/tex], ad ogni modo, dove converge?quanto fà la somma?
Io ho provato a svolgere l'esercizio nel seguente modo, considero l'integrale della derivata (mi sembrava una buona idea), ovvero
[tex]$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n}=\int \left( \frac{d}{dt} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n} \right) dt$[/tex]
Per i vari teoremi l'operatore di derivazione entra nella serie, quindi diventa
edit errore micidiale!!!! (vedi post in basso per correzione)
[tex]$\int \left( \frac{d}{dt} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n} \right) dt=\int \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d}{dt} \frac{t^n}{n} \right) dt=\int \sum_{n=1}^{\infty} \left( t^{n-1}+\frac{t^n}{n^2} \right) dt$[/tex]
Inutile andare avanti visto che evidentemente le cose si complicano, la prima serie si sà calcolare (è una geometrica non troppo difficile), la seconda no, e se si prova a rifare lo stesso procedimento aumenta ancora l'ordine del denominatore.
Probabilmente è la strada sbagliata, quindi come procedere?
Determinare dove converge
[tex]$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n}$[/tex]
Con il criterio della radice si trova che la serie converge per[tex]t<1[/tex], ad ogni modo, dove converge?quanto fà la somma?
Io ho provato a svolgere l'esercizio nel seguente modo, considero l'integrale della derivata (mi sembrava una buona idea), ovvero
[tex]$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n}=\int \left( \frac{d}{dt} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n} \right) dt$[/tex]
Per i vari teoremi l'operatore di derivazione entra nella serie, quindi diventa
edit errore micidiale!!!! (vedi post in basso per correzione)
[tex]$\int \left( \frac{d}{dt} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n} \right) dt=\int \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d}{dt} \frac{t^n}{n} \right) dt=\int \sum_{n=1}^{\infty} \left( t^{n-1}+\frac{t^n}{n^2} \right) dt$[/tex]
Inutile andare avanti visto che evidentemente le cose si complicano, la prima serie si sà calcolare (è una geometrica non troppo difficile), la seconda no, e se si prova a rifare lo stesso procedimento aumenta ancora l'ordine del denominatore.
Probabilmente è la strada sbagliata, quindi come procedere?
Risposte
E' una serie di potenze, quindi converge per $|t|<1$ e non converge per $|t|>1$. Agli estremi controlla tu, è immediato. Per la determinazione della somma è giusta l'intuizione di derivare per serie, ma hai commesso un errore (grave) nella derivazione.... stai derivando rispetto a $t$!
la vergogna è così tanta che mi verrebbe da cancellare il post...ops...almeno un edit lo faccio...grazie per l'aiuto comunque
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