Serie numeriche - criterio della radice
Salve a tutti!
Sto studiando il criterio della radice per le serie numeriche, e non riesco a dimostrare perchè non si può dire nulla sul carattere della serie se $ lim_(n -> +oo ) root(n)(a(n)) = 1 $
La professoressa mi ha detto di partire da un esempio numerico, ma non riesco a trarre conclusioni. Qualcuno può aiutarmi?
Sto studiando il criterio della radice per le serie numeriche, e non riesco a dimostrare perchè non si può dire nulla sul carattere della serie se $ lim_(n -> +oo ) root(n)(a(n)) = 1 $
La professoressa mi ha detto di partire da un esempio numerico, ma non riesco a trarre conclusioni. Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
"pier5302748":
Salve a tutti!
Sto studiando il criterio della radice per le serie numeriche, e non riesco a dimostrare perchè non si può dire nulla sul carattere della serie se $ lim_(n -> +oo ) root(n)(a(n)) = 1 $
La professoressa mi ha detto di partire da un esempio numerico, ma non riesco a trarre conclusioni. Qualcuno può aiutarmi?
A voler essere precisi il criterio della radice afferma che...
a) se a partire da un certo n in poi e' $root (n) a_{n} \le k < 1$ la serie converge...
b) se a partire da un certo n in poi e' $root(n) a_{n} \ge 1$ la serie diverge...
c) negli altri casi il criterio e' inefficace...
Quindi se e' $ lim_(n -> +oo ) root(n) a_{n} = 1$ ma e' anche da un certo n in poi $root(n) a_{n} \ge 1$ siamo nel caso b) e la serie diverge...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Per quanto riguarda l'esempio che ti suggeriva la professoressa pensa alla successione \(\displaystyle a_n=n^b \)
questa ti darà limite 1 per tutti i valori di b ma ...
questa ti darà limite 1 per tutti i valori di b ma ...
Chisigma mi corregga se sbaglio!
il criterio falisce perchè la dimostrazione si basa sul confronto con al serie geometrica; infatti
Se $ \sum_{n\ge0}a_n$ una serie a termini positivi e se esiste un numero $\lambda$ positivo e minore di uno, cioè $0<\lambda<1,$ e un indice $N$ per cui risulti
\begin{align}
\sqrt[n]{a_n }\le \lambda<1,\,\,\,\text{per $n\ge N,$},\qquad(1)
\end{align}
allora la serie è convergente. Se risulta invece $\root[n]{a_n }> 1$ per infiniti valori di $n$ allora la serie diverge.
Dimostrazione
Se vale la $(1 )$ per $n\ge N$ si ha $a_{n}\le \lambda ^n;$ quindi abbiamo che il termine generale $a_n$ della serie è maggiorato dal termine generale di una serie geometrica $ \lambda^n,$ ed essendo per ipotesi $0<\lambda<1,$ la serie geometrica ha ragione minore di uno, e dunque risulta convergente; allora per il criterio del confronto la serie $a_n$ converge. Se invece $\root[n]{a_n }> 1$, cioè $ a_n > 1$ per infiniti valori di $n,$ non è verificata la condizione necessaria di convergenza, e dunque la serie non converge. Naturalmente se $ \lambda=1 $ la serie geometrica diverge, e la relazione
\[a_{n}\le (\lambda)^n\]
non ti permette di concludere nulla: infatti ti dice solo che la serie $a_{n} $ è minore di $+\infty$ .... che sostanzialmente vuol dire tutto e niente!
Se $ \sum_{n\ge0}a_n$ una serie a termini positivi e se esiste un numero $\lambda$ positivo e minore di uno, cioè $0<\lambda<1,$ e un indice $N$ per cui risulti
\begin{align}
\sqrt[n]{a_n }\le \lambda<1,\,\,\,\text{per $n\ge N,$},\qquad(1)
\end{align}
allora la serie è convergente. Se risulta invece $\root[n]{a_n }> 1$ per infiniti valori di $n$ allora la serie diverge.
Dimostrazione
Se vale la $(1 )$ per $n\ge N$ si ha $a_{n}\le \lambda ^n;$ quindi abbiamo che il termine generale $a_n$ della serie è maggiorato dal termine generale di una serie geometrica $ \lambda^n,$ ed essendo per ipotesi $0<\lambda<1,$ la serie geometrica ha ragione minore di uno, e dunque risulta convergente; allora per il criterio del confronto la serie $a_n$ converge. Se invece $\root[n]{a_n }> 1$, cioè $ a_n > 1$ per infiniti valori di $n,$ non è verificata la condizione necessaria di convergenza, e dunque la serie non converge. Naturalmente se $ \lambda=1 $ la serie geometrica diverge, e la relazione
\[a_{n}\le (\lambda)^n\]
non ti permette di concludere nulla: infatti ti dice solo che la serie $a_{n} $ è minore di $+\infty$ .... che sostanzialmente vuol dire tutto e niente!
Grazie mille a tutti, ora mi è tutto più chiaro!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo