Serie numeriche con funzioni

[alessandro.roma.1654]

ciao ragazzi ho una serie che non riesco a risolvere potete darmi qualche consiglio ?

$\sum_{k=1}^infty ((cos(1/k)-1)(log(k^2/(k+1)))$

allora per prima cosa ho provato la condizione necessaria la quale il limite tende a zero successivamente per studiarne il carattere ho voluto scegliere il confronto asintotico quindi la parte goniometrica è $~-1/2k^2$ poi sfruttando la proprieta dei log lo riscritta come una differenza e applicando un altra uguaglianza asintotica cioè $log(k+1)~k$ quindi riscrivendo tutto sara'

$\sum_{k=1}^infty -1/(2k^2)[log(k^2)-k]$

da qui in poi non saprei come procedere cioè moltiplicando $-1/(2k^2)$ per $k$ dopo mi esce una serie armonica che diverge mentre la serie iniziale deve convergere

[alessandro.roma.1654]

nono da quanto ho capito hanno fatto cosi: $ ln(k^2/(k+1))=ln(k^2)-ln(k+1)=2ln(k)-ln(k+1)$ poi essendo $ln(k+1)~ln(k)$ viene fuori dalla differenza semplicemente $ln(k)$ che poi portato al denominatore esce la serie di abel