Serie numeriche con funzioni

[alessandro.roma.1654]

ciao ragazzi ho una serie che non riesco a risolvere potete darmi qualche consiglio ?

$\sum_{k=1}^infty ((cos(1/k)-1)(log(k^2/(k+1)))$

allora per prima cosa ho provato la condizione necessaria la quale il limite tende a zero successivamente per studiarne il carattere ho voluto scegliere il confronto asintotico quindi la parte goniometrica è $~-1/2k^2$ poi sfruttando la proprieta dei log lo riscritta come una differenza e applicando un altra uguaglianza asintotica cioè $log(k+1)~k$ quindi riscrivendo tutto sara'

$\sum_{k=1}^infty -1/(2k^2)[log(k^2)-k]$

da qui in poi non saprei come procedere cioè moltiplicando $-1/(2k^2)$ per $k$ dopo mi esce una serie armonica che diverge mentre la serie iniziale deve convergere

[stormy1]

guarda che ti confondi
$ln(1+k) ~k $ per $k rarr0$
prova a dimostrare,ad esempio,che per $k rarr+infty$ il termine generale della serie è un infinitesimo di ordine minore dell'ordine dell'infinitesimo $1/k^(3/2)$

[alessandro.roma.1654]

si è vero mi sono confuso quindi rimane il logaritmo. perche dovrei dimostrare che il termine generale della serie è un infinitesimo di ordine minore di $1/(k^(3/2))$???

[stormy1]

perchè così dimostri che la serie che ha come termine generale il valore assoluto del termine generale della serie data è maggiorata dalla serie convergente di termine generale $1/k^(3/2)$

[alessandro.roma.1654]

ma perche devo partire da questa cosa ?? cioè da dove l hai tirato fuori questo $1/(k^(3/2))$ non si puo' fare con il confronto asintotico ??

[stormy1]

"alessandrof10":non si puo' fare con il confronto asintotico ??

in teoria sì,ma secondo me non è facilissimo dire a cosa è asintotico il termine della serie
ho scelto $3/2$ ma per il mio scopo potevo scegliere un qualsiasi numero maggiore di 1 che mi desse una serie maggiorante

[alessandro.roma.1654]

quindi scegliendo la serie armonica generalizzata che converge per (alfa>1) devo solo dimostrare che questa serie notevole e maggiore della mia seria se questo è vero per il criterio del confronto converge anche la mia serie giusto ?? se quello che sto dicendo è vero come faccio a dimostrarlo ??

[stormy1]

per essere precisi,devi dimostrare che è maggiorante della serie che ha come termine generale il valore assoluto del termine generale della serie data
questo perchè la tua serie è a valori negativi

[alessandro.roma.1654]

$1/(2k^2)[log(k^2)-log(k+1)]<1/(k^(2))$ quindi moltiplicando ambo i membri per $k^2$ e aggiustando il tutto esce

$ log(k)-(log(k+1))/2<1$

giusto ?? oppure non ho capito nulla ??

[alessandro.roma.1654]

ci seii???

[stormy1]

allora, il valore assoluto del termine generale della serie a cui ti sei ricondotto si può scrivere nella seguente forma
$a_k=(2lnk-ln(k+1))/(2k^2)$
dimostra che
$ lim_(k -> +infty)a_k/(1/k^(3/2)) =0 $
e,per quello che abbiamo già detto,hai finito
senza complicarti troppo la vita,una volta fatta l'opportuna semplificazione,usa De L'Hopital

[alessandro.roma.1654]

"stormy":
$ lim_(k -> +infty)a_k/(1/k^(3/2)) =0 $

scusami ma il limite non deve essere uguale a 1 affinche' le due serie hanno lo stesso carattere ???
per il secondo criterio del confronto

[stormy1]

alessandro,però devi stare attento
noi vogliamo dimostrare questo

"stormy": la serie che ha come termine generale il valore assoluto del termine generale della serie data è maggiorata dalla serie convergente di termine generale $ 1/k^(3/2) $

[alessandro.roma.1654]

allora rileggendo il teorema del confronto dice se il lim di an/bn =0 allora se bn converge allora an converge
se il limite an/bn = L con 0

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[stormy1]

la differenza è enorme: comunque sì,bisogna riferirsi al primo enunciato

[alessandro.roma.1654]

provo ad interpretare la differenza: nel primo caso non abbiamo scampo cioè se quel limite tende a zero e se la nostra bn converge deve convergere anche an. nel secondo caso non ci dice nulla su la convergenza o divergenza cioè se il limite è un numero finito L le due serie hanno lo stesso carattere cioè possono divergere o convergere in base alla serie confrontata. giusto ??? altrimenti mi suicidio ahahah cmq grazie mille per la pazienza siete molto gentili su questo forum

[stormy1]

hai interpretato bene

[alessandro.roma.1654]

menomale grazie mille visto che sono qui non mi va di aprire un altro topic allora il problema e che non riesco a trovare su internet le tabelle degli asintotici per x che tende a infinito(lnx+1~lnx ecc...) ma ho trovato solo quelli per x che tende a zero(lnx+1~x).non è che tu hai qualche link oppure qualche tabella che puoi riportarmi gentilmente ???

[stormy1]

no mi dispiace
però,credo ti possa essere utile sapere che il logaritmo è un infinito lentissimo,cioè $ lim_(x -> +infty)lnx/x^alpha=0,forallalpha>0 $

[alessandro.roma.1654]

sisi questa cosa la sapevo te lo detto perche' questo esercizio poteva essere risolto con il confronto asintotico: te lo mostro

\begin{align}
\left(\cos\frac{1}{k}-1\right)\ln\left(\frac{k^2}{k+1}\right)\sim-\frac{\ln k }{2k^2} \sim-\frac{ 1}{2k^2\ln^{-1} k} ,
\end{align}

proponendo appunto che $ln(k+1)~lnk$ quindi quella è la serie di abel e converge giustamente per alfa>0 in quanto per noi alfa è 2

e per mia ignoranza non conoscevo questi asintotici per x che tendono a infinito tutto qui cmq grazie cercherò qualche anima gentile che li abbia

[stormy1]

sì giusto,però in quel caso penso che venga usata questa relazione :
$k^2/(k+1) ~k $