Serie numeriche
$ sum_(n = 1)^(oo) (sen(n/2))/(n+2) $
$ sum_(n = 1)^(oo) (cos^2(n))/(1+n) $
non riesco a capire qual è il metodo per risolverle, poichè se le confronto sono entrambe minori di serie che divergono e non posso applicare il criterio del confronto... Però ad intuito sembrerebbe che entrambe divergono poichè al numeratore c'è sempre una quantità più piccola di 1 e si potrebbe applicare il criterio degli infinitesimi, ma non sono sicuro
$ sum_(n = 1)^(oo) (cos^2(n))/(1+n) $
non riesco a capire qual è il metodo per risolverle, poichè se le confronto sono entrambe minori di serie che divergono e non posso applicare il criterio del confronto... Però ad intuito sembrerebbe che entrambe divergono poichè al numeratore c'è sempre una quantità più piccola di 1 e si potrebbe applicare il criterio degli infinitesimi, ma non sono sicuro
Risposte
La seconda diverge di sicuro. Come dimostrarlo ? Boh ! A livello intuitivo, la successione $cos^2(n)$ non ha zeri, tranne che $n=0$, perchè sostanzialmente $\pi$ è irrazionale.
Se quindi si prende il $min(cos^2(n))$, si può eseguire il confronto con questa funzione. Inteso che non si sa qual è il min della successione, però si sa che è >0.
La prima è più delicata, perchè ha termini positivi e negativi, per cui potrebbe anche convergere a zero.
Se quindi si prende il $min(cos^2(n))$, si può eseguire il confronto con questa funzione. Inteso che non si sa qual è il min della successione, però si sa che è >0.
La prima è più delicata, perchè ha termini positivi e negativi, per cui potrebbe anche convergere a zero.
ma non c'è un metodo sicuro di risoluzione per queste serie?
"Quinzio":
La seconda diverge di sicuro. Come dimostrarlo ? Boh ! A livello intuitivo, la successione $cos^2(n)$ non ha zeri, tranne che $n=0$, perchè sostanzialmente $\pi$ è irrazionale.
Se quindi si prende il $min(cos^2(n))$, si può eseguire il confronto con questa funzione. Inteso che non si sa qual è il min della successione, però si sa che è >0.
La prima è più delicata, perchè ha termini positivi e negativi, per cui potrebbe anche convergere a zero.
Non è detto che il minimo di cui parli esista...
D'accordo è una question delicata, però considera la successione $2 \pi M(n/(2 \pi))$ (M è la mantissa), è sufficiente che una frazione finita di termini cada nell'intervallo $(-(\pi)/(4),(\pi)/(4))$ (i numeri sono solo un esempio) per far divergere la serie. Questo avviene "di sicuro".
Come dimostrarlo non lo so.
Come dimostrarlo non lo so.
Si può svolgere anche così, credo:
Fissato $epsilon = 1/2$, $cos(n) > 1 - epsilon = 1/2$ per infiniti indici $A = { n_(nu_1) , n_(nu_2) , ... }$.
Per tutti gli altri indici minoro il termine corrispondente con $0$.
Ottengo una serie minorante del tipo :
$0 + 0 + (cos^2( n_(nu_1)))/( n_(nu_1) +1) + 0 + 0 + 0 + 0 + (cos^2( n_(nu_2)))/( n_(nu_2)+1) + 0 + ...$
e la indico con $sum b_n$. Questa è una serie che minora la serie di partenza e che ha lo stesso carattere della serie $sum b_(n_(nu_k))$ , $k in NN$.
$sum_k b_(n_(nu_k)) = (cos^2( n_(nu_1)))/( n_(nu_1) +1) + (cos^2( n_(nu_2)))/( n_(nu_2)+1) + ...$ , la quale diverge
perché è minorata a sua volta dalla serie $sum 1/4 * 1/(n+1) = +oo$.
Fissato $epsilon = 1/2$, $cos(n) > 1 - epsilon = 1/2$ per infiniti indici $A = { n_(nu_1) , n_(nu_2) , ... }$.
Per tutti gli altri indici minoro il termine corrispondente con $0$.
Ottengo una serie minorante del tipo :
$0 + 0 + (cos^2( n_(nu_1)))/( n_(nu_1) +1) + 0 + 0 + 0 + 0 + (cos^2( n_(nu_2)))/( n_(nu_2)+1) + 0 + ...$
e la indico con $sum b_n$. Questa è una serie che minora la serie di partenza e che ha lo stesso carattere della serie $sum b_(n_(nu_k))$ , $k in NN$.
$sum_k b_(n_(nu_k)) = (cos^2( n_(nu_1)))/( n_(nu_1) +1) + (cos^2( n_(nu_2)))/( n_(nu_2)+1) + ...$ , la quale diverge
perché è minorata a sua volta dalla serie $sum 1/4 * 1/(n+1) = +oo$.
Aspetto qualche parere/critica...
Un suggerimento per capire il comportamento della prima serie: studia il carattere di \(\displaystyle \left | \sum_{n=1}^{\infty} \sin(n/2) \right | \). Se riesci a provare che esiste \(\displaystyle C>0 \) tale che \(\displaystyle \left | \sum_{k=1}^{n} \sin(k/2) \right |\le C \) \(\displaystyle \quad \forall n \in \mathbb{N} \) [e questo dovrebbe essere vero - vedi sotto], puoi concludere per il criterio di Abel-Dirichlet.
Sulla limitatezza di \(\displaystyle \left | \sum_{n=1}^{\infty} \sin(n/2) \right | \).
Supponiamo che l'argomento del seno sia espresso in gradi, e quindi, per esempio, che il settantesimo termine di quella serie sia il seno di \(\displaystyle 35^\circ \). Fino a \(\displaystyle n=360 \) si ha la somma di termini tutti positivi, mentre se \(\displaystyle 361 \le n \le 720 \) si ha somma di termini tutti negativi (o nulli), esattamente tutti gli opposti dei primi. Si dovrebbe quindi avere \(\displaystyle \left | \sum_{n=1}^{720} \sin(n/2) \right |=0 \); ne segue per ovvie ragioni che \(\displaystyle \left | \sum_{n=1}^{\infty} \sin(n/2) \right |\le \left | \sum_{n=1}^{360} \sin(n/2) \right | \quad \forall n \in \mathbb{N} \).
Il ragionamento credo si possa adattare anche al caso di radianti come argomento, e credo ci possa stare.
Sulla limitatezza di \(\displaystyle \left | \sum_{n=1}^{\infty} \sin(n/2) \right | \).
Supponiamo che l'argomento del seno sia espresso in gradi, e quindi, per esempio, che il settantesimo termine di quella serie sia il seno di \(\displaystyle 35^\circ \). Fino a \(\displaystyle n=360 \) si ha la somma di termini tutti positivi, mentre se \(\displaystyle 361 \le n \le 720 \) si ha somma di termini tutti negativi (o nulli), esattamente tutti gli opposti dei primi. Si dovrebbe quindi avere \(\displaystyle \left | \sum_{n=1}^{720} \sin(n/2) \right |=0 \); ne segue per ovvie ragioni che \(\displaystyle \left | \sum_{n=1}^{\infty} \sin(n/2) \right |\le \left | \sum_{n=1}^{360} \sin(n/2) \right | \quad \forall n \in \mathbb{N} \).
Il ragionamento credo si possa adattare anche al caso di radianti come argomento, e credo ci possa stare.
Salve Delirium.
"Delirium":
Se riesci a provare che esiste \(\displaystyle C>0 \) tale che \(\displaystyle \left | \sum_{n=1}^{\infty} \sin(n/2) \right |
Mmh, questo è un criterio che non ho studiato, però non mi torna una cosa; non puoi dire che \(\displaystyle \left | \sum_{n=1}^{\infty} \sin(n/2) \right |
"Delirium":
Sulla limitatezza di \(\displaystyle \left | \sum_{n=1}^{\infty} \sin(n/2) \right | \).
Questo discorso non mi convince; di solito si intende l'argomento del seno espresso in radianti.
Sì, una piccola svista/dimenticanza. Ora ho corretto.
Quanto al discorso dei radianti, non mi viene idea migliore (ma forse si può riutilizzare). Il problema è che con i gradi si ottiene un andamento ciclico/periodico delle somme parziali, mentre con i radianti no.
Ad ogni modo se quella "primitiva" è limitata, la serie di partenza converge.
Quanto al discorso dei radianti, non mi viene idea migliore (ma forse si può riutilizzare). Il problema è che con i gradi si ottiene un andamento ciclico/periodico delle somme parziali, mentre con i radianti no.
Ad ogni modo se quella "primitiva" è limitata, la serie di partenza converge.
"Delirium":
Sì, una piccola svista/dimenticanza. Ora ho corretto.
Quanto al discorso dei radianti, non mi viene idea migliore (ma forse si può riutilizzare). Il problema è che con i gradi si ottiene un andamento ciclico/periodico nelle somme parziali, mentre con i radianti no.
Eh, ed è proprio questo il problema.
Per esempio: se consideri i gradi, $max lim_n sin(n) = 1$ è una ovvietà. Dimostrare che $max lim_n sin(n) = 1$ quando l'argomento è espresso in radianti non è così semplice.
Intorno al tuo ragionamento non saprei. Come lo trasporteresti al caso dei radianti?
Mmm... Al momento non mi viene nulla, e probabilmente trattasi di vicolo cieco. Bisogna cercare un'altra via (a questo punto dubito pure della limitatezza di quella "primitiva").
Devo pensarci anche io, per ora non ho idee valide. Cosa ne pensi del modo in cui ho trattato il secondo?
La tua idea mi par buona, Seneca, ma c'è un passaggio che non mi convince del tutto, ossia il seguente:
Come facciamo a sapere che questi indici sono proprio infiniti?
Avendo a che fare con i radianti la cosa non mi sembra ovvia, anche se intuitivamente potrebbe starci.
"Seneca":
[...]
Fissato $epsilon = 1/2$, $cos(n) > 1 - epsilon = 1/2$ per infiniti indici $A = { n_(nu_1) , n_(nu_2) , ... }$.
[...]
Come facciamo a sapere che questi indici sono proprio infiniti?
Avendo a che fare con i radianti la cosa non mi sembra ovvia, anche se intuitivamente potrebbe starci.
Quella cosa lì è vera proprio perché $maxlim ( cos(n) ) = 1$, ed è una cosa che assumo nota (anche se non è proprio immediata, come ti dicevo).
Grazie della risposta.
Grazie della risposta.
Ho capito. Allora direi che il tuo ragionamento è corretto.
Una domanda veloce, già che ci sono: massimo limite = limite superiore? Perché a lezione abbiamo parlato solo di limite superiore ed inferiore (mentre la teoria dei massimi e minimi limiti è presente sul mio libro di analisi (De Marco), ma tra i complementi di vario genere).
Una domanda veloce, già che ci sono: massimo limite = limite superiore? Perché a lezione abbiamo parlato solo di limite superiore ed inferiore (mentre la teoria dei massimi e minimi limiti è presente sul mio libro di analisi (De Marco), ma tra i complementi di vario genere).
"Delirium":
Una domanda veloce, già che ci sono: massimo limite = limite superiore? Perché a lezione abbiamo parlato solo di limite superiore ed inferiore (mentre la teoria dei massimi e minimi limiti è presente sul mio libro di analisi (De Marco), ma tra i complementi di vario genere).
Sì, è la stessa identica cosa.
Perfetto. Quindi tu ti avvali di una di quelle che il mio professore di analisi chiama "definizioni operative" di limite superiore: per ogni \(\displaystyle \epsilon>0 \) e per ogni \(\displaystyle \bar{n} \) fissato esiste \(\displaystyle n \ge \bar{n} \) tale che \(\displaystyle a_{n}>L-\epsilon \)...?
Fissati quindi infiniti \(\displaystyle \bar{n} \), ci saranno infiniti termini della successione il cui valore è maggiore di \(\displaystyle L-\epsilon \)...
Fissati quindi infiniti \(\displaystyle \bar{n} \), ci saranno infiniti termini della successione il cui valore è maggiore di \(\displaystyle L-\epsilon \)...
"Delirium":
Quindi tu ti avvali di una di quelle che il mio professore di analisi chiama "definizioni operative" di limite superiore: per ogni \(\displaystyle \epsilon>0 \) e per ogni \(\displaystyle \bar{n} \) fissato esiste \(\displaystyle n \ge \bar{n} \) tale che \(\displaystyle a_{n}>L-\epsilon \)...?
Fissati quindi infiniti \(\displaystyle \bar{n} \), ci saranno infiniti termini della successione il cui valore è maggiore di \(\displaystyle L-\epsilon \)...
Esatto.
Mi è venuta un'idea: dai miei appunti (scritti dal professore) leggo:
Considero ora la successione della somme parziali \[\displaystyle s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{e^{ik \theta}}{k}, \quad \theta \in [0,2\pi) \]
Si ha senz'altro (formula di Eulero) \[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{e^{ik \theta}}{k}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(\cos\; k\theta + i \sin \; k \theta)}{k}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\cos \; k \theta}{k} + i \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \; k \theta}{k}\]
Del resto si ha anche \[\displaystyle \left | \sum_{k=1}^{n} e^{ik \theta} \right|=\left | \frac{1-e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i \theta}} \right | \le \frac{2}{|1-e^{i\theta}|}, \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Quindi possiamo asserire che la serie \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{i n \theta}}{n} \] converge per il criterio di Abel-Dirichlet. Questo equivale a dire che la successione delle somme parziali \(\displaystyle s_{n} \) converge se \(\displaystyle n \to \infty \). E questo implica, per quanto riportato, che le successioni delle somme parziali \(\displaystyle (\mbox{Re}\ s_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) e \(\displaystyle (\mbox{Im} \ s_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) convergono al tendere di \(\displaystyle n \) all'infinito.
La convergenza della 1 si può estrapolare da questi ultimi risultati.
Che ne dici Seneca? Adesso credo che funzioni.
Una successione complessa \(\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb{N}} \) si può scomporre nella sua parte reale e immaginaria: \[\displaystyle a_{n}=\mbox{Re}\ a_{n} + i \ \mbox{Im}\ a_{n}, \quad n \in \mathbb{N}. \]
Una successione complessa \(\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb{N}} \) converge se e solo se convergono le successioni reali \(\displaystyle (\mbox{Re} \ a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) e \(\displaystyle (\mbox{Im} \ a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) [...]
Considero ora la successione della somme parziali \[\displaystyle s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{e^{ik \theta}}{k}, \quad \theta \in [0,2\pi) \]
Si ha senz'altro (formula di Eulero) \[\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{e^{ik \theta}}{k}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(\cos\; k\theta + i \sin \; k \theta)}{k}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\cos \; k \theta}{k} + i \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \; k \theta}{k}\]
Del resto si ha anche \[\displaystyle \left | \sum_{k=1}^{n} e^{ik \theta} \right|=\left | \frac{1-e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i \theta}} \right | \le \frac{2}{|1-e^{i\theta}|}, \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Quindi possiamo asserire che la serie \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{i n \theta}}{n} \] converge per il criterio di Abel-Dirichlet. Questo equivale a dire che la successione delle somme parziali \(\displaystyle s_{n} \) converge se \(\displaystyle n \to \infty \). E questo implica, per quanto riportato, che le successioni delle somme parziali \(\displaystyle (\mbox{Re}\ s_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) e \(\displaystyle (\mbox{Im} \ s_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) convergono al tendere di \(\displaystyle n \) all'infinito.
La convergenza della 1 si può estrapolare da questi ultimi risultati.
Che ne dici Seneca? Adesso credo che funzioni.
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