Serie numeriche

[Webster]

Non riesco a calcolare la somma parziale della seguente serie $sum_(n = 0)^(oo) 2^(n+1)/3^n$.Il metodo di svolgimento credo sia quello di scomporre il nucleo della serie in modo tale da vedere quali elementi "sopravvivono" alla sommatoria $sum_(k = 0)^(n) 2^(k+1)/3^k$ ma anche tentando il seguente piccolo sviluppo $sum_(n = 0)^(oo) 2^(n+1)/3^n=2+4/3+8/9+16/27+32/81+64/243+...$ non riesco ad individuare tale scomposizione.Potete aiutarmi?

[Gi81]

$sum_(n = 0)^(oo) 2^(n+1)/3^n=sum_(n = 0)^(oo) (2*2^(n))/3^n=2*sum_(n = 0)^(oo) 2^(n)/3^n=2*sum_(n = 0)^(oo) (2/3)^n$
Se sai quanto vale $sum_(n=0)^(oo) x^n$, con $ x in (0,1)$ hai finito

[Webster]

La somma parziale indicatami a fine esercizio è $6(1-(2/3)^(n+1))$.Come si spiega?