Serie numeriche
L'esercizio proponeva di verificare se due serie fossero convergenti, divergenti o oscillanti.
Avendo studiato i vari criteri tuttavia di fronte a queste due funzioni:
$(5^(2n+3))/(2n-1)!$ e $sin(pi/2n+3)$ trovo parecchie difficoltà.
Per la prima pensavo di svolgerla con il criterio di Cauchy ma con il fattoriale non ho dimistichezza.Per la seconda...ehm...
Volevo farvi una domanda: per le serie occorre fare il limite prima di applicare il criterio di risoluzione o durante?
vi ringrazio.
Sempre poco chiaro, alex
Avendo studiato i vari criteri tuttavia di fronte a queste due funzioni:
$(5^(2n+3))/(2n-1)!$ e $sin(pi/2n+3)$ trovo parecchie difficoltà.
Per la prima pensavo di svolgerla con il criterio di Cauchy ma con il fattoriale non ho dimistichezza.Per la seconda...ehm...
Volevo farvi una domanda: per le serie occorre fare il limite prima di applicare il criterio di risoluzione o durante?
vi ringrazio.
Sempre poco chiaro, alex
Risposte
Non mi sembrano serie di funzioni... Per la prima puoi provare ad usare il criterio del rapporto (funziona quasi sempre quando si ha a che fare con esponenziali e fattoriali), per la seconda calcola (se puoi) $\lim_{n \to +\infty} \sin(\frac{\pi}{2} n + 3)$, e trai le dovute conclusioni...
"bad.alex":
L'esercizio proponeva di verificare se due serie fossero convergenti, divergenti o oscillanti.
Avendo studiato i vari criteri tuttavia di fronte a queste due funzioni:
$\sum (5^(2n+3))/((2n-1)!)$ e $\sum sin(pi/2n+3)$ trovo parecchie difficoltà.
Per la prima pensavo di svolgerla con il criterio di Cauchy ma con il fattoriale non ho dimistichezza.Per la seconda...ehm...
Volevo farvi una domanda: per le serie occorre fare il limite prima di applicare il criterio di risoluzione o durante?
vi ringrazio.
Sempre poco chiaro, alex
Queste sono due serie numeriche al massimo...le funzioni non c'entrano nulla, a meno che non ti sei dimenticato una $x$ per la strada!
"Gugo82":
[quote="bad.alex"]L'esercizio proponeva di verificare se due serie fossero convergenti, divergenti o oscillanti.
Avendo studiato i vari criteri tuttavia di fronte a queste due funzioni:
$\sum (5^(2n+3))/((2n-1)!)$ e $\sum sin(pi/2n+3)$ trovo parecchie difficoltà.
Per la prima pensavo di svolgerla con il criterio di Cauchy ma con il fattoriale non ho dimistichezza.Per la seconda...ehm...
Volevo farvi una domanda: per le serie occorre fare il limite prima di applicare il criterio di risoluzione o durante?
vi ringrazio.
Sempre poco chiaro, alex
Queste sono due serie numeriche al massimo...le funzioni non c'entrano nulla, a meno che non ti sei dimenticato una $x$ per la strada!
[/quote]ops....ho subito modificato il titolo. vi ringrazio, scusatemi. Per Tipper: una volta scritto il rapporto .... come faccio ad eliminare il fattoriale?qualche problemuccio...
$\sum_{n=0}^\infty \frac{5^{2n+3}}{(2n-1)!}$
$\sum_{n=0}^\infty \frac{2 n\ 5^{2n}5^3}{(2n)!}$
$5^3 \sum_{k=0}^\infty \frac{k 5^k}{k!} = 5^3 \sum_{k=1}^\infty \frac{5^k}{(k-1)!}$ (ops, questo passaggio non serviva)
$ 5^4 \sum_{j=0}^\infty \frac{5^j}{j!}$
converge a $5^4 e^5$
$\sum_{n=0}^\infty \frac{2 n\ 5^{2n}5^3}{(2n)!}$
$5^3 \sum_{k=0}^\infty \frac{k 5^k}{k!} = 5^3 \sum_{k=1}^\infty \frac{5^k}{(k-1)!}$ (ops, questo passaggio non serviva)
$ 5^4 \sum_{j=0}^\infty \frac{5^j}{j!}$
converge a $5^4 e^5$
Puoi scrivere come ti viene il rapporto fra $a_{n+1}$ e $a_n$?
Per la seconda usa le formule per $\sin(a+b)$...
"killing_buddha":
$\sum_{n=0}^\infty \frac{5^{2n+3}}{(2n-1)!}$ $\sum_{n=0}^\infty \frac{2 n 5^{2n}5^3}{(2n)!}$
$5^3 \sum_{k=0}^\infty \frac{k 5^k}{k!} = 5^3 \sum_{k=1}^\infty \frac{5^k}{(k-1)!}$ (ops, questo passaggio non serviva)
$ 5^4 \sum_{j=0}^\infty \frac{5^j}{j!}$
converge a $5^4 e^5$
mmm...nel secondo passaggio perchè scrivi 2n5^...? somma esponenti aventi stessa base...ma non capisco quel 2n che moltiplica..mi spiace ...ti ringrazio ( ma il fattoriale?....mi sono confuso. tra le due serie va qualche simbolo??
Ho corretto. Semplicemente si ha
$\frac{1}{(2n-1)!} = \frac{2n}{2n \cdot (2n-1)!} = \frac{2n}{(2n)!}$
(in realtà come ho scritto non serve a molto farlo, te l'ho mostrato solo per farti vedere che "somiglia" all'esponenziale.. tanto è vero che comunque poi si deve tornare indietro a 1/(k-1)! ecc...
$\frac{1}{(2n-1)!} = \frac{2n}{2n \cdot (2n-1)!} = \frac{2n}{(2n)!}$
(in realtà come ho scritto non serve a molto farlo, te l'ho mostrato solo per farti vedere che "somiglia" all'esponenziale.. tanto è vero che comunque poi si deve tornare indietro a 1/(k-1)! ecc...
il termine generale $sin(pi/2n+3)$ della seconda serie assume solo un numero finito di valori che si ripetono ciclicamente.
Visto che non sono tutti zero, questoi valori (a dire il vero, non lo e' nessuno), il termine generale non va a zero e quindi la serie non e' convergente.
Che sia divergente o oscillante dipende da quanto fa la somma di questi valori. Se fa zero e' oscillante. Se la somma e' positiva, la serie diverge positivamente, altrimenti negativamente.
Visto che non sono tutti zero, questoi valori (a dire il vero, non lo e' nessuno), il termine generale non va a zero e quindi la serie non e' convergente.
Che sia divergente o oscillante dipende da quanto fa la somma di questi valori. Se fa zero e' oscillante. Se la somma e' positiva, la serie diverge positivamente, altrimenti negativamente.
"Fioravante Patrone":
il termine generale $sin(pi/2n+3)$ della seconda serie assume solo un numero finito di valori che si ripetono ciclicamente.
Visto che non sono tutti zero, questoi valori (a dire il vero, non lo e' nessuno), il termine generale non va a zero e quindi la serie non e' convergente.
Che sia divergente o oscillante dipende da quanto fa la somma di questi valori. Se fa zero e' oscillante. Se la somma e' positiva, la serie diverge positivamente, altrimenti negativamente.
non ti seguo...scusami.
"killing_buddha":
Ho corretto. Semplicemente si ha
$\frac{1}{(2n-1)!} = \frac{2n}{2n \cdot (2n-1)!} = \frac{2n}{(2n)!}$
(in realtà come ho scritto non serve a molto farlo, te l'ho mostrato solo per farti vedere che "somiglia" all'esponenziale.. tanto è vero che comunque poi si deve tornare indietro a 1/(k-1)! ecc...
mmm....per l'appunto...dovrei studiare bene la definizione di fattoriale....grazie per l'aiuto. Sbagliavo, come prevedibile, nel calcolo del fattoriale...per semplificare....ho complicato la situazione
"bad.alex":
[quote="Fioravante Patrone"]il termine generale $sin(pi/2n+3)$ della seconda serie assume solo un numero finito di valori che si ripetono ciclicamente.
Visto che non sono tutti zero, questoi valori (a dire il vero, non lo e' nessuno), il termine generale non va a zero e quindi la serie non e' convergente.
Che sia divergente o oscillante dipende da quanto fa la somma di questi valori. Se fa zero e' oscillante. Se la somma e' positiva, la serie diverge positivamente, altrimenti negativamente.
non ti seguo...scusami.[/quote]
non e' vero che non mi segui e non ti scuso
e' che non ti sei impegnato per seguirmi
prendi un pezzo di carta e scrivi i primi 10 termini della successione (senza fare conti; ma se vuoi, per capire quello che succede basta anche che cacci i primi 10 termini in una calcolatrice)
dopo che avrai fatto qualcosa del genere potrai dire che non mi segui
oppure mandami pure direttamente a quel paese, cosi' fai prima
ciao
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