Serie Numeriche
Salve! Potreste dirmi qual'è il carattere delle serie seguenti?
$\sum_{n=1}^{+\infty} (sin n + cos n)/(n^3+sqrt(n))$ (perchè?)
$\sum_{n=1}^{+\infty} ((-1)^n*sin n)/(n^2+1)$
$\sum_{n=1}^{+\infty} (1/(n+1))*log(1+1/n)$
$\sum_{n=1}^{+\infty} (n+1)/(n^3+n+sqrt(n))$
$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n/(n^2+sin n)$
Grazie!
$\sum_{n=1}^{+\infty} (sin n + cos n)/(n^3+sqrt(n))$ (perchè?)
$\sum_{n=1}^{+\infty} ((-1)^n*sin n)/(n^2+1)$
$\sum_{n=1}^{+\infty} (1/(n+1))*log(1+1/n)$
$\sum_{n=1}^{+\infty} (n+1)/(n^3+n+sqrt(n))$
$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n/(n^2+sin n)$
Grazie!
Risposte
Non possono che essere convergenti, per ogni $N \in \mathbb{N}$, dato che in ogni caso si ha la somma di un numero finito di termini... Sicuro del testo?
Nel caso in cui tutte siano estese da $1$ a $+\infty$:
1) vale $|\frac{\sin(n) + \cos(n)}{n^3 + \sqrt{n}}| \le \frac{\sqrt{2}}{n^3 + \sqrt{n}}$, pertanto la serie converge assolutamente, per confronto con $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3}$
2) vale $|\frac{(-1)^n \sin(n)}{n^2 + 1}| \le \frac{1}{n^2 + 1}$, pertanto la serie converge assolutamente, per confronto con $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$
3) la serie è a termini positivi, ed è asintoticamente equivalente a $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+1} \frac{n+1}{n}$, la quale diverge, per confronto con $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$
4) converge, per confronto asintotico con $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$
5) vale $|\frac{(-1)^n}{n^2 + \sin(n)}| = \frac{1}{|n^2 + \sin(n)|} = \frac{1}{n^2 + \sin(n)}$, per ogni $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, pertanto la serie converge assolutamente, per confronto asintotico con $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$
PS: correggi l'indice delle sommatorie, o usi $n$, o usi $k$.
Nel caso in cui tutte siano estese da $1$ a $+\infty$:
1) vale $|\frac{\sin(n) + \cos(n)}{n^3 + \sqrt{n}}| \le \frac{\sqrt{2}}{n^3 + \sqrt{n}}$, pertanto la serie converge assolutamente, per confronto con $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3}$
2) vale $|\frac{(-1)^n \sin(n)}{n^2 + 1}| \le \frac{1}{n^2 + 1}$, pertanto la serie converge assolutamente, per confronto con $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$
3) la serie è a termini positivi, ed è asintoticamente equivalente a $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+1} \frac{n+1}{n}$, la quale diverge, per confronto con $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$
4) converge, per confronto asintotico con $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$
5) vale $|\frac{(-1)^n}{n^2 + \sin(n)}| = \frac{1}{|n^2 + \sin(n)|} = \frac{1}{n^2 + \sin(n)}$, per ogni $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, pertanto la serie converge assolutamente, per confronto asintotico con $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$
PS: correggi l'indice delle sommatorie, o usi $n$, o usi $k$.
Sì, scusa Tipper, ho appena corretto l'indice delle sommatorie, devo acquisire un po' di dimestichezza con il MathML.
Comunque, ho capito di cosa si tratta, adesso ripasso il criterio in questione..dopo risolvo altre serie e posto la risoluzione in questo stesso topic per controllare se sono giuste.
Grazie!
Comunque, ho capito di cosa si tratta, adesso ripasso il criterio in questione..dopo risolvo altre serie e posto la risoluzione in questo stesso topic per controllare se sono giuste.
Grazie!
[OT]
Chiedi che carattere hanno le serie.
Beh... sono serie!
[/OT]
Battute a parte, buona la soluzione di Tipper (le maggiorazioni si potevano anche "allargare" un po' senza pregiudicare il risultato).
Chiedi che carattere hanno le serie.
Beh... sono serie!
[/OT]
Battute a parte, buona la soluzione di Tipper (le maggiorazioni si potevano anche "allargare" un po' senza pregiudicare il risultato).
scusate non vorrei dire cazzate ma la terza nn è equivalente alla serie di termine generale
$1/(n+1) 1/n$.... e quindi convergente?=??
$1/(n+1) 1/n$.... e quindi convergente?=??
"miuemia":
scusate non vorrei dire cazzate ma la terza nn è equivalente alla serie di termine generale
$1/(n+1) 1/n$.... e quindi convergente???
Sì, hai ragione.
Tipper ha fatto un errorino, di domenica capita ed è perdonato... Però da oggi lo chiamiamo Topper.
"Gugo82":
... Però da oggi lo chiamiamo Topper.
Lol . Grazie a tutti per la vostra utilissima consulenza
Ho altre serie da proporvi, più "serie" come direbbe Gugo. Non riesco a comprendere quale criterio applicare, sebbene li abbia studiati praticamente tutti, quindi vi sarei enormemente grato se mi indicaste la strada giusta da seguire.
$\sum_{n=1}^{+\infty} (cosx)^n$
$\sum_{n=1}^{+\infty} (x^n*n!)/(n^n)$ con x>0
$\sum_{n=1}^{+\infty} ((n+1)/(n+2))^(\alphan^2)$
$\sum_{n=1}^{+\infty} (|x|-1)^n$
$\sum_{n=1}^{+\infty} 1/(1+x^(2n))$
$\sum_{n=1}^{+\infty} 1/(logn)^\alpha$
$\sum_{n=1}^{+\infty} 1/(n^\alpha*logn)$
$\sum_{n=1}^{+\infty} ((\alphan+1)/(2n+3))^n$ con $\alpha$ >0
$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^(n+1)*((n^2+1)/n^2)^(-n^2)$
Giuro che non vi rompo più!! (Fino ad allora spero di aver capito queste diavolerie
). Fate pure con calma!
Grazie mille ragazzi!
. Grazie a tutti per la vostra utilissima consulenza Ho altre serie da proporvi, più "serie" come direbbe Gugo. Non riesco a comprendere quale criterio applicare, sebbene li abbia studiati praticamente tutti, quindi vi sarei enormemente grato se mi indicaste la strada giusta da seguire.
$\sum_{n=1}^{+\infty} (cosx)^n$
$\sum_{n=1}^{+\infty} (x^n*n!)/(n^n)$ con x>0
$\sum_{n=1}^{+\infty} ((n+1)/(n+2))^(\alphan^2)$
$\sum_{n=1}^{+\infty} (|x|-1)^n$
$\sum_{n=1}^{+\infty} 1/(1+x^(2n))$
$\sum_{n=1}^{+\infty} 1/(logn)^\alpha$
$\sum_{n=1}^{+\infty} 1/(n^\alpha*logn)$
$\sum_{n=1}^{+\infty} ((\alphan+1)/(2n+3))^n$ con $\alpha$ >0
$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^(n+1)*((n^2+1)/n^2)^(-n^2)$
Giuro che non vi rompo più!! (Fino ad allora spero di aver capito queste diavolerie
). Fate pure con calma! Grazie mille ragazzi!
Perché non cominci tu a dire come faresti e/o dove trovi difficoltà?
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