Serie numeriche

[nic111]

Salve
In questo esercizio devo capire se la serie $\sum_{n=2}^\infty ln((n+1)/(n-1))$ converge.
Per prima cosa ho controllato che il limite con n che va all'infinito della serie sia 0, che è la condizione necessaria per la convergenza la condizione è verificata.
Ho provato ad applicare il criterio del rapporto
$\lim_{n \to \infty} ln((n+2)/(n)) /ln((n+1)/(n-1))$
che posso riscrive raccogliendo n e usando la proprietà dei logaritmi:
$\lim_{n \to \infty} ln(1+(2)/(n)) /(ln(1+(1)/(n))-ln(1-1/n))$ asintotico ad $\lim_{n \to \infty} (2/n)/(1/n+1/n)$
perciò il limite è uguale a $1$ e non posso utilizzare questo teorema
Ora a meno che io non abbia fatto degli errori di calcolo come posso risolvere questa serie ?

[pilloeffe]

Ciao nic11,

Si vede quasi subito che la serie proposta è divergente, infatti si ha:

$ \sum_{n=2}^{+\infty }ln((n+1)/(n-1)) = \sum_{n=2}^{+\infty }ln((n-1+ 2)/(n-1)) = \sum_{n=2}^{+\infty}ln(1 + 2/(n-1)) $[tex]\sim[/tex] $2 \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(n-1) $

L'ultima serie scritta è la serie armonica, notoriamente divergente.

[nic111]

Grazie