Serie numeriche

[domenico.migl]

Salve a tutti, sapreste darmi qualche consiglio su come approcciarmi a questa serie?

$sum_(n=1)^(\infty)[n*arcsen(n/(n+1))-(n+1)*arcsen((n+1)/(n+2))]$

Come prima cosa l'ho confrontata asintoticamente con la seguente:

$sum_(n=1)^(\infty)[n^2/(n+1)-(n+1)^2/(n+2)]$ Adesso ho la differenza di due serie divergenti.. Suppongo quindi che la serie iniziale diverga, come faccio a dirlo in modo rigoroso?

[theras]

Prova intanto a scriverne la successione delle somme parziali per qualche valore di $"n"$:
cosa ne intuisci?
Saluti dal web.

[domenico.migl]

@theras Grazie non avevo proprio notato fosse telescopica! A questo punto posso calcolare il limite per $n \to +\infty$ del termine generale $a_n= n^2/(n+1)$ il quale è $+\infty$ e quindi la serie diverge. Giusto?

[theras]

Si,diverge:
ma a mio avviso è ampiamente preferibile dire che ciò avviene perché lo fa,negativamente,la successione $"s"_"n" "=arcsen" "1"/"2" "-(n+1)arcsen" "n+1"/"n+2"$,e non te lo dico per eccesso di zelo ma solo perché corri dei rischi inutili se prendi l'abitudine di passare ai termini asintotici scordandoti la serie d partenza(tanto per cominciare,nel caso fortunato di una telescopica convergente, butteresti a mare l'alea favorevole in quanto salterebbero fuori somme probabilmente diverse,in barba al teorema di unicità del limite negli spazi $"T"_"2"$..)!
Saluti dal web.