Serie numeriche

[edc96]

Vi prego, ho l'esame di Analisi tra due giorni e ho ancora un sacco di dubbi sullo studio della convergenza di una serie.
Ad esempio, se ho questa serie :
$\sum_{n=1}^N[2n-sin(n)]/(n^2+3)$
e voglio studiarne la convergenza, dopo aver verificato che il termine generale è infinitesimo, posso passare a studiare la convergenza. E' giusto dire che il numeratore è asintotico a 2n e il denominatore a n^2 e che, quindi, la serie di partenza è asintotica ad una seria che è simile alla serie armonica(che diverge) e pertanto anche la serie di partenza diverge?

Inoltre, non riesco a capire se studio correttamente la convergenza di questa serie:
$\sum_{n=1}^N [ln(n+1)-a*ln(n)]$
In questo caso, è necessario studiare la convergenza assoluta, visto che ho un parametro reale che varia, oppure posso evitare di studiarla e limitarmi a studiare quella semplice?

[billyballo2123]

"edc96":
Vi prego, ho l'esame di Analisi tra due giorni e ho ancora un sacco di dubbi sullo studio della convergenza di una serie.
Ad esempio, se ho questa serie :
$\sum_{n=1}^N[2n-sin(n)]/(n^2+3)$
e voglio studiarne la convergenza, dopo aver verificato che il termine generale è infinitesimo, posso passare a studiare la convergenza. E' giusto dire che il numeratore è asintotico a 2n e il denominatore a n^2 e che, quindi, la serie di partenza è asintotica ad una seria che è simile alla serie armonica(che diverge) e pertanto anche la serie di partenza diverge?

Questa va bene.

"edc96":
Inoltre, non riesco a capire se studio correttamente la convergenza di questa serie:
$\sum_{n=1}^N [ln(n+1)-a*ln(n)]$
In questo caso, è necessario studiare la convergenza assoluta, visto che ho un parametro reale che varia, oppure posso evitare di studiarla e limitarmi a studiare quella semplice?

Se $a<1$, $\ln (n+1)-a\ln n\geq \ln n-a\ln n=(1-a)\ln n\to +\infty$ (essendo $1-a>0$), dunque il termine generale non tende a zero e la serie diverge.
Se $a\geq 1$, scrivendo il termine generale come
\[
\ln\frac{n+1}{n^a},
\]
si ha che:
per $a=1$, $\ln\frac{n+1}{n^a}=\ln(1+\frac{1}{n})~1/n$ e dunque la serie diverge;
per $a>1$ $\frac{n+1}{n^a}\to 0$ dunque $\ln\frac{n+1}{n^a}\to -\infty$ e dunque la serie diverge anche in questo caso.
In conclusione, la serie diverge per ogni $a\in\mathbb{R}$.