Serie numerica: verifica condizione necessaria di convergenza
Buongiorno a tutti!
Avrei bisogno di una mano a capire la soluzione a questo esercizio.
Devo verificare, con la condizione necessaria di convergenza, che le seguenti serie non convergono:
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n n/(n+1)$
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n 1/log(1 + 1/n)$
Nel primo caso: $\lim_{n\to\infty} (-1)^n n/(n+1)$ non esiste e quindi la serie non converge.
Nel secondo caso: $\lim_{n\to\infty} (-1)^n 1/log(1 + 1/n)=\+infty$ e quindi la serie non converge.
Quello che non capisco è perchè il primo limite non esiste e perchè il risultato del secondo è $\+infty$??
Grazie a tutti!
Avrei bisogno di una mano a capire la soluzione a questo esercizio.
Devo verificare, con la condizione necessaria di convergenza, che le seguenti serie non convergono:
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n n/(n+1)$
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n 1/log(1 + 1/n)$
Nel primo caso: $\lim_{n\to\infty} (-1)^n n/(n+1)$ non esiste e quindi la serie non converge.
Nel secondo caso: $\lim_{n\to\infty} (-1)^n 1/log(1 + 1/n)=\+infty$ e quindi la serie non converge.
Quello che non capisco è perchè il primo limite non esiste e perchè il risultato del secondo è $\+infty$??
Grazie a tutti!
Risposte
Per la condizione di necessaria convergenza sulle serie a segni alterni devi considerare solamente la successione privata
di $ (-1)^n $ . Se provi a maggiorare infatti otterrai solamente la successione; poi effettua il calcolo del limite.
di $ (-1)^n $ . Se provi a maggiorare infatti otterrai solamente la successione; poi effettua il calcolo del limite.
Ciao, hai a che fare con due serie a segni alterni che sono del tipo:
$ sum_(n=1)^infty (-1)^n a_n $. La condizione necessaria è che $ lim_(n -> infty) a_n=0 $, cioè che il termine generale sia infinitesimo. Nel tuo caso hai che il primo fa $ 1 $ (confronto degli infiniti) e il secondo fa $ infty $ (limite notevole al denominatore).
$ sum_(n=1)^infty (-1)^n a_n $. La condizione necessaria è che $ lim_(n -> infty) a_n=0 $, cioè che il termine generale sia infinitesimo. Nel tuo caso hai che il primo fa $ 1 $ (confronto degli infiniti) e il secondo fa $ infty $ (limite notevole al denominatore).
grazie a entrambi!! 
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