Serie numerica strana

[Darèios89]

[tex]\sum_{n \to 1 }^{\infty} 3^{-n} \cos(n!x)[/tex]

So che il regolamento prevede il provare a risolverla, questa è una serie che mi è capitata ad un esame, ma non sono riuscito a capire come studiarla.
Dovrebbe essere a termini di segno variabile, la condizione necessaria alla convergenza è verificata, ma non so come avventurarmici.

P.S. premetto che purtroppo Stirling o il confronto asintotico non li abbiamo fatti....
Il parametro [tex]$x$[/tex] varia in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].

[gugo82]

Prendi la serie dei valori assoluti e maggiora opportunamente.

[Darèios89]

Mah....l'unica cosa che penso, ma non so se funzione è:

[tex]\frac{|cos(n!x)|}{3^n}\leq\frac{1}{3^n}[/tex]

Che per n>1 converge mi sembra, ma non so se è corretta la maggiorazione.

[j18eos]

Sì, lo è; quasi assieme al resto delle affermazioni!

Ti trovi la serie maggiorata dalla serie geometrica [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{3^n}$[/tex] di ragione [tex]$\frac{1}{3}$[/tex] per cui converegente.

La conclusione sai trarla?

[Darèios89]

Bè intanto una cosa, [tex]\frac{1}{3^n}[/tex] è la serie resto di posto 3 della serie armonica?
Chiedo perchè sono dubbioso su quale resto sia.
Comunque la conclusione è che siccome la serie di partenza è maggiorata da una serie che per [tex]n>1[/tex] converge allora è assolutamente convergente e dunque converge.
Ma per [tex]n=1[/tex]? Cosa fare?

[DajeForte]

Non capisco cosa chiedi;
$n$ è la variabile su cui sommi (in un certo senso è come la variabile muta dell'integrale);
dipende da dove va la somma, te nel primo post hai scritto da $1$; potrebbe anche andare da $0$ ricorda che $0!=1$.

[Darèios89]

Ah si hai ragione, no il fatto è che siccome la serie quando l'esponente è maggiore di 1 converge se invece è minore o uguale a uno diverge, quell'[tex]n[/tex] l'avevo considerato come esponente della serie, quindi se parte da 1 pensavo che si dovesse considerare anche quel caso.
In definitiva è sempre convergente?
Non mi devo preoccupare che di quando n=1?

[DajeForte]

Ma come ti rispondi e poi rifai la stessa domanda.

Comunque te lo ha scritto jeos:

$sum_(n=0)^(+infty)p^n=1/(1-p)$ per $|p|<1$;

se hai $sum_(n=1)^(+infty)p^n=[sum_(n=0)^(+infty)p^n]-1=1/(1-p)-1$ che è ovviamente finita

[Darèios89]

Io avevo parlato della serie armonica, non di quella geometrica.....

[j18eos]

@DajeForte: "jeos" mi mancava nella collezione

@Darèios89: la serie armonica generalizzata è [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\alpha}$[/tex] ed il discorso per la convergenza che tu fai deve essere esplicitato per [tex]$\alpha$[/tex]!

[Darèios89]

E quindi scusate se sono duro di comprendonio, ma allora se in quella serie io ho [tex]\frac{1}{3^n}[/tex]

Dato che il mio [tex]\alpha[/tex] è [tex]n[/tex] come mi comporto?
Voi come la vedere, come l'inversa della serie geometrica?
Non ho capito altrimenti..
LA serie geometrica l'hai scritta tu DajeForte, ma quella che ho lì è uno fratto la serie geometrica, non è diverso?
Con che cosa la maggioriamo allora? Io credevo la serie armonica, con alfa uguale a n.
La considerate come inversa della serie geometrica?
Non ho capito....io la pensavo come serie armonica con alfa uguale ad n, e quindi dovrei considerare che all'inizio per n=1 la serie diverge, solo per n>1 converge.
.....Sono un pò confuso.

[j18eos]

La serie geometrica di ragione [tex]$q$[/tex] (numero reale) è [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}q^n$[/tex].

La serie armonica generalizzata è [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}$[/tex] ove [tex]$\alpha$[/tex] è un parametro reale positivo o nullo fissato.

Vedi bene che sono 2 serie di tipo diverso, premesso ciò qual'è il tuo dubbio dato che non l'ho capito?

[gugo82]

Il fatto è che Daréios confonde la serie armonica e quella geometrica. Ecco tutto.

Basterebbe fare più attenzione... E studiarsi per bene le serie dal libro.

[Darèios89]

Il mio dubbio è quella che abbiamo nel testo è una serie geometrica?
Perchè essendo una frazione penso sia diversa, [tex]3^n[/tex] avrei detto serie geoemtrica ma [tex]\frac{1}{3^n}[/tex] non è diverso?
E poi la serie geometrica mi pare che converga quando [tex]-1
Quindi a che ci serve il confronto se la serie diverge?

.....<\frac{1}{3^n}[/tex]

Così dato che diverge cosa concludiamo?

[j18eos]

Veramente è [tex]$\frac{1}{3^n}=\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^n$[/tex] per cui [tex]$q=\hdots$[/tex] e quindi...

[gugo82]

"Darèios89":Il mio dubbio è quella che abbiamo nel testo è una serie geometrica?

No, [tex]$\sum \frac{\cos n! x}{3^n}$[/tex] non è una serie geometrica.

"Darèios89":Perchè essendo una frazione penso sia diversa, [tex]3^n[/tex] avrei detto serie geoemtrica ma [tex]\frac{1}{3^n}[/tex] non è diverso?

Diverso da cosa, scusa?

"Darèios89":E poi la serie geometrica mi pare che converga quando [tex]-1
E chi è [tex]$q$[/tex]?

"Darèios89":Quindi a che ci serve il confronto se la serie diverge?

.....<\frac{1}{3^n}[/tex]

Così dato che diverge cosa concludiamo?

Forse hai capito l'idea di fondo del procedimento; ma non hai compreso bene la strada che ti stiamo indicando perchè non hai la giusta dimestichezza con le proprietà della serie geometrica ed i teoremi di confronto.
Pertanto ti rinnovo l'invito ad aprire il libro di teoria e studiare (anche se so che ad agosto non è facile).

[Darèios89]

Allora [tex]\frac{1}{3^n}[/tex] è una serie geometrica o come pensavo io una serie armonica?
Mi riferivo a questa...

[j18eos]

La serie [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{3^n}$[/tex] è geometrica di ragione [tex]$\frac{1}{3}$[/tex]!

[Darèios89]

.....................................................
Tutti quei punti sono dovuti al fatto che sono basito..

certo perchè la si potrebbe scrivere come [tex](\frac{1}{3})^{n}[/tex]

Dunque la base che abbiamo ci consente di dire che la serie converge......
Vengo bocciato.....per non aprire...gli occhi...

[j18eos]

Mi posso permettere di scriverti che da quanto vedo non riesci con gli esercizi, ma inizia dalla teoria e verificala con gli esercizi.

Sul metodo di studio vedi qui https://www.matematicamente.it/forum/met ... 60797.html se ti potesse essere d'aiuto!

[Darèios89]

Si lo so....ma la teoria non è che non la so, è che a volte mi dimentico o meglio non vedo certe cose, per questo, infatti ho sbagliato perchè pensavo alla serie geometrica come [tex]q^n[/tex]

Senza accorgermi di quell' 1 nella frazione che poteva essere elevato ad n e fare parte del termine generale della serie geometrica.
grazie mille.