Serie numerica "articolata"
Ciao ragazzi, è da due giorni che cerco di risolvere questa serie di un compito di Analisi 1, ma non riesco a venirne a capo
$ sum_(n = 1)^(+infty) 1/sqrt n cos(e^(-1/n)pi/2) $
La serie risulta essere a termini positivi e soddisfa la consizione necessaria di convergenza.
Arrivata a questo punto mi blocco. Non riesco proprio a capire a quale criterio devo fare riferimento per determinarne il carattere...
Suggerimenti?
Grazie in anticipo a chiunque saprà darmi una mano!
$ sum_(n = 1)^(+infty) 1/sqrt n cos(e^(-1/n)pi/2) $
La serie risulta essere a termini positivi e soddisfa la consizione necessaria di convergenza.
Arrivata a questo punto mi blocco. Non riesco proprio a capire a quale criterio devo fare riferimento per determinarne il carattere...
Suggerimenti?
Grazie in anticipo a chiunque saprà darmi una mano!
Risposte
Utilizzerei il criterio degli infinitesimi.
Dobbiamo stabilire l'ordine di infinitesimo dell'argomento della serie. Nota che ovviamente il termine $\frac{1}{\sqrt{n}}$ è infinitesimo di ordine $1/2$ quindi concentriamoci sull'altro fattore.
Si può dimostrare, ad esempio con il teorema di De l'Hopital, il seguente risultato:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\cos(e^{-\frac{1}{n}}\frac{\pi}{2})}{e^{-\frac{1}{n}} \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}=-1$$
Il che ci dice che per $n \to +\infty$ si ha:
$$\cos \left(e^{-\frac{1}{n}}\frac{\pi}{2} \right) \sim \frac{\pi}{2}(1-e^{-\frac{1}{n}})$$
quindi ci siamo ricondotti a stabilire come va a 0 il membro di destra della relazione scritta sopra. Ma per il limite notevole dell'esponenziale ($\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$) hai che:
$$\frac{\pi}{2}(1-e^{-\frac{1}{n}}) \sim \frac{\pi}{2n}$$
Quindi, riassumendo, il termine della tua serie, per $n$ che va all'infinito si comporta come:
$$ \frac{1}{\sqrt{n}} \cos \left(e^{-\frac{1}{n}}\frac{\pi}{2} \right) \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{\pi}{2n}$$
e da qui è chiaro che il termine generale è infitesimo di ordine $1/2+1=3/2$ e quindi la serie converge.
Dobbiamo stabilire l'ordine di infinitesimo dell'argomento della serie. Nota che ovviamente il termine $\frac{1}{\sqrt{n}}$ è infinitesimo di ordine $1/2$ quindi concentriamoci sull'altro fattore.
Si può dimostrare, ad esempio con il teorema di De l'Hopital, il seguente risultato:
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\cos(e^{-\frac{1}{n}}\frac{\pi}{2})}{e^{-\frac{1}{n}} \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}=-1$$
Il che ci dice che per $n \to +\infty$ si ha:
$$\cos \left(e^{-\frac{1}{n}}\frac{\pi}{2} \right) \sim \frac{\pi}{2}(1-e^{-\frac{1}{n}})$$
quindi ci siamo ricondotti a stabilire come va a 0 il membro di destra della relazione scritta sopra. Ma per il limite notevole dell'esponenziale ($\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$) hai che:
$$\frac{\pi}{2}(1-e^{-\frac{1}{n}}) \sim \frac{\pi}{2n}$$
Quindi, riassumendo, il termine della tua serie, per $n$ che va all'infinito si comporta come:
$$ \frac{1}{\sqrt{n}} \cos \left(e^{-\frac{1}{n}}\frac{\pi}{2} \right) \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{\pi}{2n}$$
e da qui è chiaro che il termine generale è infitesimo di ordine $1/2+1=3/2$ e quindi la serie converge.
"Covenant":
Utilizzerei il criterio degli infinitesimi.
Ti ringrazio tanto!
Ma più che criterio degli infinitesimi, non hai applicato quello delle equivalenze asintotiche?
"fifty_50":
[quote="Covenant"]Utilizzerei il criterio degli infinitesimi.
Ti ringrazio tanto!
Ma più che criterio degli infinitesimi, non hai applicato quello delle equivalenze asintotiche?[/quote]
Questione di nomi. Usi delle equivalenze asintotiche per stabilire l'ordine di infinitesimo dell'argomento della serie e confrontarlo con gli infinitesimi campione, per questo l'ho sempre sentito chiamare così.
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