Serie Numerica ingannevole :)
ciao a tutti...vi propongo questa serie :
$ sum_(n = 1)^(+oo) $ $ ((-1)^n - n^n)/((n+1)^n) $
io l'ho risolto con il metodo della radice e non con quello leibniz, poiche ho visto subito che tutti i membri erano elevati a n.....
il limite mi esce -1 che è < 0 percui per il criterio della radice la serie converge....
è giusto oppure ho detto un grande cavolata?? grazie
$ sum_(n = 1)^(+oo) $ $ ((-1)^n - n^n)/((n+1)^n) $
io l'ho risolto con il metodo della radice e non con quello leibniz, poiche ho visto subito che tutti i membri erano elevati a n.....
il limite mi esce -1 che è < 0 percui per il criterio della radice la serie converge....
è giusto oppure ho detto un grande cavolata?? grazie
Risposte
Ma che stai dicendo? La serie è sicuramente a termini costanti, ma negativi: puoi scriverla come
$-\sum_{n=1}^\infty {n^n-(-1)^n}/{(n+1)^n}$
in modo che i termini risultino tutti positivi (provare per credere). Se applichi il criterio della radice, otterrai come valore del limite $1$ che non ti permette di concludere un gran che. Piuttosto, prova a calcolare
$\lim_{n\to+\infty} {n^n-(-1)^n}/{(n+1)^n}$
$-\sum_{n=1}^\infty {n^n-(-1)^n}/{(n+1)^n}$
in modo che i termini risultino tutti positivi (provare per credere). Se applichi il criterio della radice, otterrai come valore del limite $1$ che non ti permette di concludere un gran che. Piuttosto, prova a calcolare
$\lim_{n\to+\infty} {n^n-(-1)^n}/{(n+1)^n}$
giusto... 
quindi devo utilizzare il criterio di leibniz ? cmq quel limite mi esce 1/e
quindi devo utilizzare il criterio di leibniz ? cmq quel limite mi esce 1/e
.......ma lo hai letto quando ho scritto che la serie è a termini di segno costante (in questo caso tutti negativi)?
NO, devi fare quello che ti ho suggerito!
NO, devi fare quello che ti ho suggerito!
si si ho modificato dopo il mio messaggio.
Sì, ma il fatto è che la serie non è a termini di segno alterno, quindi come pensi di usare Leibnizi?
Ora, se quel limite viene $1/e$, essendo il limite del termine generale della serie, cosa puoi concludere?
Ora, se quel limite viene $1/e$, essendo il limite del termine generale della serie, cosa puoi concludere?
ma quindi nn applico nessun criterio?
perchè partire in quarta col voler applicare i criteri di convergenza a macchinetta quando ormai dovresti aver capito che non è soddisfatto il criterio necessario?
scusami ma le sto studiando da poco e voglio solo cercare di capire!
"clacla87":
scusami ma le sto studiando da poco e voglio solo cercare di capire!
allora rispondi a questo: è possibile che una serie converga se il suo termine generale non tende a 0 per $nto+oo$ ?
@clacla: se hai una serie $\sum a_n$ e $\lim_{n\to+\infty} a_n\ne 0$, cosa accade? Se hai appena cominciato, questa dovrebbe essere proprio una delle prime cose che avresti dovuto vedere!
Edit: anticipato da covenant
Edit: anticipato da covenant
no perchè la condizione necessaria affinche una serie converga è che il suo termine generale tenda a zero...percui ne deduco che queta serie diverge...giusto?
Giusto... e in più, visto che tutti i termini sono negativi, diverge negativamente.
ok, quindi la prima cosa che devo fare quando ho da studiare una serie è provare a fare il limite del termine generale e vedere se diverge? tranne ovviamente se noto subito che posso risolverla con un criterio...
teoricamente la prima cosa da fare è controllare che il termine generale sia infinitesimo. Poi a livello pratico questa fase rientra in quella più generale di determinare l'ordine di infinitesimo del termine generale. Cioè si tratta di capire quanto vada velocemente a 0 il termine generale, se poi si nota che invece questo non tende a 0, allora si conclude subito.
capito! cmq toglimi un dubbio, penso stupido, ma devo capire.
ora sono andato a vedere sul mio libro, quando dice che la condizione necessaria affinchè una serie $ sum_(n = 1)^(+oo) $ di an converga è che il limite......etc etc. quando parla della sommatoria di an, il libro specifica con n che va da 1 a + inf.
ora mi chiedo, questa proposizione vale solo per le $ sum_(n = 1)^(+oo) $ o anche, tipo con n che va da 2 a +infinito e cosi via..?
cmq toglimi un dubbio, penso stupido, ma devo capire.ora sono andato a vedere sul mio libro, quando dice che la condizione necessaria affinchè una serie $ sum_(n = 1)^(+oo) $ di an converga è che il limite......etc etc. quando parla della sommatoria di an, il libro specifica con n che va da 1 a + inf.
ora mi chiedo, questa proposizione vale solo per le $ sum_(n = 1)^(+oo) $ o anche, tipo con n che va da 2 a +infinito e cosi via..?
In generale, una serie si dovrebbe definire al modo seguente $\sum_{n=n_0}^\infty a_n$ dove $n_0\ge 0$ è il primo naturale che viene considerato. Per cui le cose continuano a funzionare anche così. Il fatto è che, se si definisce la somma parziale della serie $s_N=\sum_{n=n_0}^N a_n$ per definizione la serie converge quando $\lim_{N\to+\infty} s_n=s\ne\infty$. Questo implica che l'eventuale divergenza (o i problemi ad essa legati) sono collegati al valore $R_N=\sum_{n=n_0}^\infty a_n-s_N=\sum_{n=N+1}^\infty a_n$ detto resto $N$-imo, che, come vedi, è quello che contine gli "infiniti" termini della successione $a_n$ che potrebbero far divergere la serie. Il senso della condizione necessaria, allora, è proprio quella di assicurare che, almeno a priori, tu non vada mai ad aggiungere valori che potrebbero far crescere rapidamente il valore della somma.
ah ok quindi è ininfluente,era solo un modo per indicare una nzero $ >= 0 $. grazie mille.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo