Serie numerica e serie di funzione (Importante!)
Salve,
ragazzi vi chiedo un favore grosso. Mi servono il prima possibile (prima di domani ora di pranzo!) il risultato di questi due esercizi, con i passaggi. Un grazie immenso a chi ce la farà!
$sin(n*pi+ 1/(n^3))$ (per n=2 fino ad inf)
e
$(1-cos(1/n))*x^n$ (di questa mi serve il raggio di convergenza, dato che si tratta di una serie di funzioni)
Grazie ancora
Ciao
Enea
ragazzi vi chiedo un favore grosso. Mi servono il prima possibile (prima di domani ora di pranzo!) il risultato di questi due esercizi, con i passaggi. Un grazie immenso a chi ce la farà!
$sin(n*pi+ 1/(n^3))$ (per n=2 fino ad inf)
e
$(1-cos(1/n))*x^n$ (di questa mi serve il raggio di convergenza, dato che si tratta di una serie di funzioni)
Grazie ancora
Ciao
Enea
Risposte
1) ***correggo la cazzata di prima, magari aggiungendone un'altra***
$ sum_(n=2)^infty sin(n*pi+1/(n^3)) $
$ sum_(n=2)^infty (-1)^n* sin(1/(n^3)) $
$ sum_(n=2)^infty (-1)^n*1/(n^3)*O(1)$
e allora la serie converge per il criterio di Leibniz.
2) fai la radice n_esima, passa in esponenziale, fai il limite (magari con Taylor) e mi pare che venga 1, ma non sono sicuro;
$ sum_(n=2)^infty sin(n*pi+1/(n^3)) $
$ sum_(n=2)^infty (-1)^n* sin(1/(n^3)) $
$ sum_(n=2)^infty (-1)^n*1/(n^3)*O(1)$
e allora la serie converge per il criterio di Leibniz.
2) fai la radice n_esima, passa in esponenziale, fai il limite (magari con Taylor) e mi pare che venga 1, ma non sono sicuro;
Mentre facevo l'esercizio mi è venuto in mente questo:
$O(f(x))+O(g(x))=O(f(x)+g(x)) $ $x->infty$
gli $O$ sono degli O grandi, non degli o piccoli$
mi pare di averla verificata ma non l'ho mai vista... è vera secondo voi???
$O(f(x))+O(g(x))=O(f(x)+g(x)) $ $x->infty$
gli $O$ sono degli O grandi, non degli o piccoli$
mi pare di averla verificata ma non l'ho mai vista... è vera secondo voi???
Grazie Thomas.
Quello che mi serve adesso è sapere se questo esercizio è giusto o sbagliato:
Stabilire il carattere della seguente serie:
$ sum_(n=50)^infty 1 / (((n)^(1/2) - 5)*(n^6-sin(n))^(1/10))
Dopo aver fatto le moltiplicazioni, ho portato il $sqrt(n)$ sotto radice decima, ed è diventato $n^5$ che moltiplica il resto della radice decima (n^6-sin(n)). Il termine di grado massimo è dunque radice decima di $n^(11)$.
Pertanto confronto asintoticamente la serie data con $1/n^(11/10)$; il limite per n-->inf è 1, quindi hanno lo stesso carattere.
La serie di partenza pertanto converge, perchè converge $1/n^alpha$ per $alpha>1$
Giusto? Sbagliato?
Grazie mille a chi mi risponderà.
Ciao
Enea
Quello che mi serve adesso è sapere se questo esercizio è giusto o sbagliato:
Stabilire il carattere della seguente serie:
$ sum_(n=50)^infty 1 / (((n)^(1/2) - 5)*(n^6-sin(n))^(1/10))
Dopo aver fatto le moltiplicazioni, ho portato il $sqrt(n)$ sotto radice decima, ed è diventato $n^5$ che moltiplica il resto della radice decima (n^6-sin(n)). Il termine di grado massimo è dunque radice decima di $n^(11)$.
Pertanto confronto asintoticamente la serie data con $1/n^(11/10)$; il limite per n-->inf è 1, quindi hanno lo stesso carattere.
La serie di partenza pertanto converge, perchè converge $1/n^alpha$ per $alpha>1$
Giusto? Sbagliato?
Grazie mille a chi mi risponderà.
Ciao
Enea
"Enea":
Grazie Thomas.
Quello che mi serve adesso è sapere se questo esercizio è giusto o sbagliato:
Stabilire il carattere della seguente serie:
$ sum_(n=2)^infty 1 / (((n)^(1/2) - 5)*(n^6-sin(n))^(1/10))
Dopo aver fatto le moltiplicazioni, ho portato il $sqrt(n)$ sotto radice decima, ed è diventato $n^5$ che moltiplica il resto della radice decima (n^6-sin(n)). Il termine di grado massimo è dunque radice decima di $n^(11)$.
Pertanto confronto asintoticamente la serie data con $1/n^(11/10)$; il limite per n-->inf è 1, quindi hanno lo stesso carattere.
La serie di partenza pertanto converge, perchè converge $1/n^alpha$ per $alpha>1$
Giusto? Sbagliato?
Grazie mille a chi mi risponderà.
Ciao
Enea
Up!
Grazie
Ciao
Enea
"Enea":
Stabilire il carattere della seguente serie: $ sum_(n=50)^infty 1 / (((n)^(1/2) - 5)*(n^6-sin(n))^(1/10))
Dopo aver fatto le moltiplicazioni, [...] confronto asintoticamente la serie data con $1/n^(11/10)$; [...]
La serie di partenza pertanto converge [...] Giusto? Sbagliato?
Giusto. Però, che orridi problemi...
Grazie mille!! Se questa è giusta, e lo è pure lo studio della funzione integrale, comincio a sperare per l'esame... anche se il limite non sono riuscito a farlo (erano questi tre esercizi, più una domanda di teoria (I teorema fondamentale del Calcolo Integrale) che ho fatto).
Vedremo...
Grazie
Ciao
Enea
Vedremo...
Grazie
Ciao
Enea
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