Serie numerica (Diverge o converge ? )

[giuppyru-votailprof]

Devo studiare il carattere della seguente serie numerica :

$sum_(n=1)^(infty)(2^n*n!)/(n^n)$

io ho provato ad utilizzare il criterio della radice e ottengo :

$lim_(n->infty)(root(n)(2^n*n!))/(root(n)n^n)$ $=$ $2*lim_(n->infty)(root(n)(n!))/n$ $=$ $2/e$ e quindi la mia serie converge

poi ho provato ad utilizzare il criterio del rapporto per verificare e ottengo :

$lim_(n->infty)(2^(n+1)*(n+1)!)/((n+1)^(n+1))*n^n/(2^n*n!)$ $=$ $2*(n/(n+1))^n$ che dovrebbe tendere a $infty$ e quindi in questo caso la serie mi risulta divergente.

Qualcosa ho sbagliato , dove ?

[salvozungri]

Attenta, hai semplificato un 2 di troppo nell'ultimo limite.
Ad ogni modo:
[tex]$\left(\frac{n}{n+1}\right)^n =\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^n = \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=[/tex]

[tex]$= \left[\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^{\frac{n}{n+1}}[/tex]

Quello tra parentesi quadre ti ricorderà sicuramente un limite notevolmente noto

[giuppyru-votailprof]

"Mathematico":Attenta, hai semplificato un 2 di troppo nell'ultimo limite.

Hai ragione ho corretto!

"Mathematico":Ad ogni modo:
[tex]$\left(\frac{n}{n+1}\right)^n =\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^n = \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=[/tex]

[tex]$= \left[\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^{\frac{n}{n+1}}[/tex]

Quello tra parentesi quadre ti ricorderà sicuramente un limite notevolmente noto

Quindi $lim_(x->infty)[(1-1/(n+1))^n+1]^(n/(n+1))$ $=$ $lim_(x->infty)(1/e)^(n/(n+1))$ $=$ $1/e$ ovviamente moltiplicato per il 2 di prima