Serie numerica del tipo a^n / b^n
Salve a tutti, oggi mi sono imbattuto in una serie che mi ha creato qualche problema.
La serie è (da 0 a +infinito):
$(4^(2n) + 5^(2n))/3^(3n) $
Ho provato dapprima a svolgerla mediante criterio del rapporto e della radice, ma l'addizione al numeratore mi crea problemi e alla fine non riesco a svincolarmi da un rapporto del tipo 4^2n / 5^2n che non ho idea di come sciogliere.
Ho anche provato per confronto asintotico con 1/3^n in maniera tale da pareggiare il grado tra numeratore e denominatore e farla convergere, pero alla stessa maniera non so come proseguire a causa della somma.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
La serie è (da 0 a +infinito):
$(4^(2n) + 5^(2n))/3^(3n) $
Ho provato dapprima a svolgerla mediante criterio del rapporto e della radice, ma l'addizione al numeratore mi crea problemi e alla fine non riesco a svincolarmi da un rapporto del tipo 4^2n / 5^2n che non ho idea di come sciogliere.
Ho anche provato per confronto asintotico con 1/3^n in maniera tale da pareggiare il grado tra numeratore e denominatore e farla convergere, pero alla stessa maniera non so come proseguire a causa della somma.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Risposte
Suppongo tu volessi scrivere [tex]$\frac{4^{2n}+5^{2n}}{3^{3n}}$[/tex], giusto? Siamo sicuri si tratti di serie e non di successione? In ogni caso se è una serie, con il criterio della radice puoi ragionare così:
[tex]$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\frac{4^{2n}+5^{2n}}{3^{3n}}}=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\frac{5^{2n}\left((4/5)^{2n}+1\right)}{3^{2n}}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{25}{27}\sqrt[n]{\left(\frac{4}{5}\right)^n+1}$[/tex]
e ora quel limiti dovresti saperlo calcolare.
P.S.: usando lo stesso ragionamento con il criterio del rapporto la cosa è ancora più facile!
[tex]$\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\frac{4^{2n}+5^{2n}}{3^{3n}}}=\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\frac{5^{2n}\left((4/5)^{2n}+1\right)}{3^{2n}}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{25}{27}\sqrt[n]{\left(\frac{4}{5}\right)^n+1}$[/tex]
e ora quel limiti dovresti saperlo calcolare.
P.S.: usando lo stesso ragionamento con il criterio del rapporto la cosa è ancora più facile!
Il limite si fa così?
$ 25/27 lim ((4/5)^(n) + 1)^(1/n) = e^((log((4/5)^(n) + 1))/n) = e^(0) = 1*25/27 = 25/27 $ poichè n è più veloce del logaritmo e quindi il tutto è uguale a 1 per 25/27 ossia 25/27?
$ 25/27 lim ((4/5)^(n) + 1)^(1/n) = e^((log((4/5)^(n) + 1))/n) = e^(0) = 1*25/27 = 25/27 $ poichè n è più veloce del logaritmo e quindi il tutto è uguale a 1 per 25/27 ossia 25/27?
Oppure ancora, dato che $ sum (a_n + b_n) = sum a_n + sum b_n$ effettivamente potresti studiare:
$sum (4^(2n))/(3^(3n)) + (5^(2n))/(3^(3n)) = sum (4^(2n))/(3^(3n)) + sum (5^(2n))/(3^(3n)) = sum ( 16/27 )^n + sum (25/27)^n$
Entrambe le serie sono geometriche con ragione $ > 1$, dunque c'è poco da aggiungere.
$sum (4^(2n))/(3^(3n)) + (5^(2n))/(3^(3n)) = sum (4^(2n))/(3^(3n)) + sum (5^(2n))/(3^(3n)) = sum ( 16/27 )^n + sum (25/27)^n$
Entrambe le serie sono geometriche con ragione $ > 1$, dunque c'è poco da aggiungere.
L'esponente tende a $0$, quindi il risultato è corretto, però non è per il motivo che dici tu: non è perché il denominatore è un infinito di ordine superiore al numeratore (cioè più veloce), perché in questo caso il numeratore non è un infinito, anzi è già di suo un infinitesimo.
Infatti, $(4/5)^n to 0$ essendo $4/5<1$. Perciò, dalla continuità della funzione logaritmo, hai che $log((4/5)^n+1) to log(1)=0$.
Infatti, $(4/5)^n to 0$ essendo $4/5<1$. Perciò, dalla continuità della funzione logaritmo, hai che $log((4/5)^n+1) to log(1)=0$.
"pater46":
con ragione $ > 1$
Oops, quasi-perfect
Scusa.. Non so perchè ma ero convinto che il prototipo delle serie geometriche fosse $sum_0^(oo) 1/(q^n)$...
Per questo pensando a $q$ ( e non $1/q$ ), questo doveva essere $>1$ :\
Scusate! Quelle serie hanno termine generale di ragione $<1$
Per questo pensando a $q$ ( e non $1/q$ ), questo doveva essere $>1$ :\
Scusate! Quelle serie hanno termine generale di ragione $<1$
@pater: no problem
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