Serie numerica: Convergenza semplice ed assoluta
Buongiorno a tutti! Ho un problema nella discussione della convergenza semplice della seguente serie.
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{1+x^{2n}} \qquad \text{con} \quad x\in\mathbb R.
\]
Per studiare la convergenza assoluta, posto $a_n = \frac{x^n}{1+x^{2n}} $, ho applicato il criterio della radice.
\[
\lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = |x|
\implies
\begin{cases}
|x|<1 \quad \text{converge ass. e semplicemente,}\\
|x|=1 \quad \text{il criterio non fornisce informazioni,}\\
|x|>1 \quad \text{diverge assolutamente.}\\
\end{cases}
\]
Per quanto riguarda il caso $|x| =1$ si può dire subito che non converge assolutamente poichè
$a_n$ non tende a 0 per $n\to+\infty$. Resta da studiare la convergenza semplice per $|x|\ge1$.
\[
\begin{cases}
x=1 \implies a_n = \frac{1}{2} \implies \text{è violata la condizione necessaria,}\\
x=-1 \implies a_n = (-1)^n \frac{1}{2} \implies \text{anche qui il termine generale $\frac{1}{2}$ non tende a 0 per $n\to+\infty$.}
\end{cases}
\]
Si ottiene quindi che la serie non converge semplicemente per $|x|=1$. Qui cominciano i miei dubbi.
Per $|x|>1$ ho detto che $a_n \sim (\frac{1}{x})^n$ ma non si può usare il confronto asintotico (eventualmente con serie geometrica) giusto? Perchè $a_n \ge 0$ non è vera per ogni $n\in[1,+\infty)$. Insomma, chiedo aiuto nella discussione di questo caso
. Ringrazio infinitamente in anticipo e spero di non aver violato alcuna regola! ciao!
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{1+x^{2n}} \qquad \text{con} \quad x\in\mathbb R.
\]
Per studiare la convergenza assoluta, posto $a_n = \frac{x^n}{1+x^{2n}} $, ho applicato il criterio della radice.
\[
\lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = |x|
\implies
\begin{cases}
|x|<1 \quad \text{converge ass. e semplicemente,}\\
|x|=1 \quad \text{il criterio non fornisce informazioni,}\\
|x|>1 \quad \text{diverge assolutamente.}\\
\end{cases}
\]
Per quanto riguarda il caso $|x| =1$ si può dire subito che non converge assolutamente poichè
$a_n$ non tende a 0 per $n\to+\infty$. Resta da studiare la convergenza semplice per $|x|\ge1$.
\[
\begin{cases}
x=1 \implies a_n = \frac{1}{2} \implies \text{è violata la condizione necessaria,}\\
x=-1 \implies a_n = (-1)^n \frac{1}{2} \implies \text{anche qui il termine generale $\frac{1}{2}$ non tende a 0 per $n\to+\infty$.}
\end{cases}
\]
Si ottiene quindi che la serie non converge semplicemente per $|x|=1$. Qui cominciano i miei dubbi.
Per $|x|>1$ ho detto che $a_n \sim (\frac{1}{x})^n$ ma non si può usare il confronto asintotico (eventualmente con serie geometrica) giusto? Perchè $a_n \ge 0$ non è vera per ogni $n\in[1,+\infty)$. Insomma, chiedo aiuto nella discussione di questo caso
. Ringrazio infinitamente in anticipo e spero di non aver violato alcuna regola! ciao!
Risposte
Non si tratta di una serie a termini positivi, in quanto la presenza del parametro reale $x$ a numeratore devia il segno del termine generale; consideriamone allora il valore assoluto, ottendendo così una serie a termini positivi cui possiamo applicare il criterio del rapporto:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\frac{x^n}{1+x^{2n}}\right| \stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}&\lim_{n\to+\infty}\frac{|x|^{n+1}}{1+x^{2n+2}}\cdot \frac{1+x^{2n}}{|x|^n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{|x|^{n }\cdot |x|}{1+x^{2n }x^2}\cdot \frac{1+x^{2n}}{|x|^n}\\
\sim&\lim_{n\to+\infty}\frac{ |x|}{ x^{2n }x^2} \cdot \left( x^{2n}\right)=\frac{1}{ \left|x\right|}=\begin{cases}
\mbox{converge se}\,\,\,|x|>1,\,\, x<-1\,\,\cup\,\,x>1,\\
\mbox{diverge se}\,\,\,|x|<1,\,\,-1
\end{align*}
Si tratta dunque di capire cosa succede per i valori $-1\le x\le 1$ in cui la serie risulta assolutamente divergente e il criterio del rapporto inefficace; si osserva allora che
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\frac{x^n}{1+x^{2n}}\right| \stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}&\lim_{n\to+\infty}\frac{|x|^{n+1}}{1+x^{2n+2}}\cdot \frac{1+x^{2n}}{|x|^n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{|x|^{n }\cdot |x|}{1+x^{2n }x^2}\cdot \frac{1+x^{2n}}{|x|^n}\\
\sim&\lim_{n\to+\infty}\frac{ |x|}{ x^{2n }x^2} \cdot \left( x^{2n}\right)=\frac{1}{ \left|x\right|}=\begin{cases}
\mbox{converge se}\,\,\,|x|>1,\,\, x<-1\,\,\cup\,\,x>1,\\
\mbox{diverge se}\,\,\,|x|<1,\,\,-1
\end{align*}
Si tratta dunque di capire cosa succede per i valori $-1\le x\le 1$ in cui la serie risulta assolutamente divergente e il criterio del rapporto inefficace; si osserva allora che
[*:2ua4lnj5] se $0\le x<1,$ la serie è a termini positivi e $x^n\to0,$ in quanto esponenziale con base minore di $1,$ dunque il terminie generale risulta:
\begin{align*}
\frac{x^n}{1+x^{2n}} \le x^n\to \mbox{converge;}
\end{align*} [/*:m:2ua4lnj5]
[*:2ua4lnj5] se $-1< x\le0,$ la serie non è a termini positivi, $x^n\to0,$ in quanto esponenziale con base $-1
\frac{|x|^n}{1+x^{2n}} \le|x|^n\to \mbox{converge assolutamente;}
\end{align*} [/*:m:2ua4lnj5]
[*:2ua4lnj5] se $x=-1$ la serie diventa:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+(-1)^{2n}}= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \to\mbox{non converge;}
\end{align*} [/*:m:2ua4lnj5]
[*:2ua4lnj5] se $x=1$ la serie diventa:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1^n}{1+1^{2n}}= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2} \to\mbox{non converge.}
\end{align*} [/*:m:2ua4lnj5][/list:u:2ua4lnj5]
Possiamo allora concludere che la serie converge per ogni valore di $x\ne\pm1.$
Mi sono messo a rifare l'esercizio e non riesco a capirese ho sbagliato ad applicare il criterio della radice o meno. A lei risulta che la serie è assolutmente divergente per $-1\le x\le 1$ a me invece in quell'intervallo risulta assolutamente convergente. Non riesco a capire dove sto sbagliando: criterio del rapporto e della radice dovrebbero essere d'accordo 
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