Serie numerica convergente
Salve, non riesco a capire perché non mi esca questo esercizio. Ho la serie $\sum_{n=1}^oo [n^(3)logn-e^(3logn)]/[log(e^n)+n^(5)logn]$ che con le opportune semplificazioni diventa $\sum_{n=1}^oo [n^(3)logn-n^3]/[n+n^(5)logn]$ dopo di ciò applico il criterio del rapporto ma mi esce $1$ , invece dovrebbe uscire un valore $1<$ ovvero serie convergente. Mi potete aiutare ?
Risposte
Ciao davide.fede,
Si ha:
$ sum_{n=1}^{+\infty} [n^(3)logn-e^(3logn)]/[log(e^n)+n^(5)logn] = sum_{n=1}^{+\infty} [n^(3)logn-n^3]/[n+n^(5)logn] = sum_{n=1}^{+\infty} [n^(2)logn-n^2]/[1+n^(4)logn] = - 1 + sum_{n=2}^{+\infty} [n^(2)logn-n^2]/[1+n^(4)logn] < $
$ < - 1 + sum_{n=2}^{+\infty} [n^(2)logn-n^2]/[n^(4)logn] = - 1 + sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^2 - sum_{n=2}^{+\infty} 1/[n^(2)logn] = frac{\pi^2}{6} - 2 - sum_{n=2}^{+\infty} 1/[n^(2)logn] $
Per cui la serie proposta converge in quanto l'ultima serie scritta è convergente.
Si ha:
$ sum_{n=1}^{+\infty} [n^(3)logn-e^(3logn)]/[log(e^n)+n^(5)logn] = sum_{n=1}^{+\infty} [n^(3)logn-n^3]/[n+n^(5)logn] = sum_{n=1}^{+\infty} [n^(2)logn-n^2]/[1+n^(4)logn] = - 1 + sum_{n=2}^{+\infty} [n^(2)logn-n^2]/[1+n^(4)logn] < $
$ < - 1 + sum_{n=2}^{+\infty} [n^(2)logn-n^2]/[n^(4)logn] = - 1 + sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^2 - sum_{n=2}^{+\infty} 1/[n^(2)logn] = frac{\pi^2}{6} - 2 - sum_{n=2}^{+\infty} 1/[n^(2)logn] $
Per cui la serie proposta converge in quanto l'ultima serie scritta è convergente.
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