Serie numerica con teorema del confronto
Vi prego aiutatemi a risolvere questa serie numerica, devo risolverla col teorema del confronto, io ho capito come si usa il teorema del confronto, però non riesco mai a trovare una serie di confronto e capire quando è maggioritaria o minoritaria.
La serie che devo risolvere è:
$\sum_{n=2}^\infty\frac{n+1}{n*(n-1)}$
Grazie in anticipo
La serie che devo risolvere è:
$\sum_{n=2}^\infty\frac{n+1}{n*(n-1)}$
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao eulero benvenuto sul forum..
Sarebbe meglio se tu scrivessi le formule in modo chiaro, puoi leggere la guida per scriverle, la puoi trovare nel forum
Sarebbe meglio se tu scrivessi le formule in modo chiaro, puoi leggere la guida per scriverle, la puoi trovare nel forum
Ciao eulero12,
E' piuttosto semplice: nella serie che hai proposto la frazione ha il numeratore [tex]\sim n[/tex] ed il denominatore [tex]\sim n^2[/tex], quindi complessivamente [tex]\sim 1/n[/tex] e dunque si comporta come la serie armonica, notoriamente divergente. D'altronde la serie che hai proposto si può anche scrivere nella forma seguente:
$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n+1}{n \cdot (n-1)} = \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n}{n \cdot (n-1)} + \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n \cdot (n-1)} = \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n-1} + \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n \cdot (n-1)} =$
$= \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n-1} + \sum_{n=2}^{+\infty}(\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n})$
Ora, l'ultima serie scritta sarebbe anche convergente (si tratta della ben nota serie di Mengoli, tra i più semplici esempi di serie telescopiche) e se ne riesce anche a calcolare agevolmente la somma (uguale a $1$), ma il problema è che la penultima serie scritta è proprio la famosa serie armonica, notoriamente divergente: quindi si conclude che la serie che hai proposto è divergente.
E' piuttosto semplice: nella serie che hai proposto la frazione ha il numeratore [tex]\sim n[/tex] ed il denominatore [tex]\sim n^2[/tex], quindi complessivamente [tex]\sim 1/n[/tex] e dunque si comporta come la serie armonica, notoriamente divergente. D'altronde la serie che hai proposto si può anche scrivere nella forma seguente:
$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n+1}{n \cdot (n-1)} = \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{n}{n \cdot (n-1)} + \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n \cdot (n-1)} = \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n-1} + \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n \cdot (n-1)} =$
$= \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n-1} + \sum_{n=2}^{+\infty}(\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n})$
Ora, l'ultima serie scritta sarebbe anche convergente (si tratta della ben nota serie di Mengoli, tra i più semplici esempi di serie telescopiche) e se ne riesce anche a calcolare agevolmente la somma (uguale a $1$), ma il problema è che la penultima serie scritta è proprio la famosa serie armonica, notoriamente divergente: quindi si conclude che la serie che hai proposto è divergente.
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