Serie Numerica con parametro reale X

[Duj91]

Uno degli esercizi che il mio prof ha chiesto di svolgere all'orale è il seguente:

$ sum_(n = \1)^oo (pi/2x-arctann)/(2+sinn+n^x) $

Ora intanto devo vericare che rispetti la condizione generale di Cauchy per la quale

$ lim_(n -> oo) a_n = 0 $

Io ho ragionato in questo modo:

$ 0<=|(pi/2x-arctann)/(2+sinn+n^x) |<=pi/2|(x-1)/(n^x)| ~~ 1/n^x $

La condizione è quindi soddisfatta per $x>0$

Applicando il criterio del confonto e del confronto asintotico e facendo considerazioni simili a quelle fatte con il limite notiamo che la serie converge se e solo se $x>1$
E' giusto come ragionamento?

[Duj91]

Idee?

[stormy1]

la serie converge anche per $x=1$
infatti,in questo caso si ha $a_n=(pi/2-arctgn)/(2+sinn+n)$ e per $n rarr +infty$,si ha $ pi/2-arctgn~1/n $

[Duj91]

Vero. Grazie Stormy! Quindi la serie per $x=1$ verrebbe discussa così:

$ sum_(n = \1) ^oo(pi/2-arctann)/(2+sinn+n) $

E si ha:

$ |(pi/2-arctann)/(2+sinn+n)|<=|(pi/2-arctann)/(n)| ~~ (1/n)/n = 1/n^2 $

E quindi converge.

L'unico dubbio che ho avuto è sulla maggiorazione con il seno al denominatore (le maggiorazioni spesso mi mandano in crisi). Però ho ragionato così $ 2+sinn+n^x>=1+n^x>=n^x $ quindi $ 1/(2+sinn+n^x)<=1/(1+n^x)<=1/n^x $ Giusto?