Serie numerica con parametro e logaritmo di n

[Eruannon]

Salve a tutti,
Sono nuovo e come potete capire dal nome molto confuso....
Ho da determinare la convergenza della serie $ sum_(n = \ 1 )^(oo) 1/(log x)^(log n) $ con $ x in R $
Ora, io non so proprio dove metter mano perché non so manipolare quel logaritmo di n all'esponente, che qualcuno mi aiuti in nome di iddio!
Grazie in anticipo per le "eventuali" risposte!

[Normz]

Prova a fare il limite per $n \rightarrow + \infty$ della successione.

[Eruannon]

"Normz":Prova a fare il limite per $n \rightarrow + \infty$ della successione.

Ok, il limite esiste e fa zero. Tuttavia questa è una condizione necessaria ma non sufficiente a provare la convergenza della serie data. Mi spiego meglio, il termine generico $ a_n $ deve tendere a zero per n che tende all'infinito, ma ciò non prova che la serie converge davvero, o sbaglio?

[Normz]

"TizioConfuso":[quote="Normz"]Prova a fare il limite per $n \rightarrow + \infty$ della successione.

Ok, il limite esiste e fa zero. Tuttavia questa è una condizione necessaria ma non sufficiente a provare la convergenza della serie data. Mi spiego meglio, il termine generico $ a_n $ deve tendere a zero per n che tende all'infinito, ma ciò non prova che la serie converge davvero, o sbaglio?[/quote]
Esattamente, questa è la prima verifica per ogni esercizio di questo tipo, in quanto se trovassi il limite diverso da zero potresti già dire che la serie non converge (attenzione: non possiamo però dire che sicuramente diverge). Ora dovresti valutare la convergenza con uno dei criteri che conosci. L'esercizio non l'ho ancora svolto ma posso darti un suggerimento:

$(\log x)^(\log n)= e^{\log[(\log x)^(\log n)]}$.

Da qui applica le proprietà dei logaritmi (più di una) e delle potenze; dovrebbe divenire più trattabile.

P.s: chiaramente nella risoluzione si deve precisare che il limite della successione fa zero se $\log x > 1$, quindi se $x>e$.

[Eruannon]

Grazie mille!
Ho seguito il tuo suggerimento e credo di aver risolto ( per favore, corregimi qualora dovessi dire boiate assurde! ).
Allora, son partito dal fatto che $[log (x)]^(log n) = e ^log[(log x)^ (log n)]$, qui ho riscritto il termine come $ [log (x)]^(log n) = e ^ {(log n)[log(log x)]} $ e quindi $ [log (x)]^(log n) = (e ^ (log n))^[log(log x)] $. Pertanto il termine generale della successione l'ho riscritto come $ 1/n^log(log(x)) $. Ora, tornando alla serie si ha che $ sum_(n = 1) ^(oo) 1/n^log(log(x)) $ converege se e solo se $ log(log(x))>1 $ e quindi $ x>e^e $.

[Normz]

Mi sembra tutto corretto