Serie numerica con parametro con Leibniz senza derivate

[55sarah]

Ciao a tutti, controllate per favore che abbia svolto correttamente questo esercizio. Ditemi se è corretto, mentre se non lo fosse scrivete cosa vi è di sbagliato e se ci fosse un altro metodo alternativo e veloce scrivete. Grazie in anticipo

Data la serie $\sum (\alpha^n)/(n+\ln(n^3+3))$ con determinare per quali valori di $\alpha\in\mathbb{R}$ la serie converge.

ho svolto così l'esercizio

$a_n=(\alpha^n)/(n+\ln(n^3+3))$

applico per prima cosa il criterio della radice

$root{n}{|a_n|}=(|\alpha|)/(root{n}{n+\ln(n^3+3)})\rightarrow |\alpha|$ per $n\rightarrow+\infty$

e converge assolutamente ossia semplicemente per $|\alpha|<1$

per $\alpha=1$..il termine generale si comporta asintoticamente come $a_n=1/n$ e quindi NON converge

per $\alpha=-1$, il termine generale diventa $b_n=((-1)^n)/(n+\ln(n^3+3))$

qui ora bisogna utilizzare Leibniz e far vedere che è monotona decrescente cioè $a_{n+1}\leq a_n$

il mio professore di Analisi non vuole che utilizziamo le derivate e vuole il calcolo a mano (lo so è un'assurdità ma è così)
quindi mi è venuta l'idea di minorare $b_n$, per evitare calcoli inutili

di certo $(1)/(n+\ln(n^3+3))\leq (1)/(n+\ln(n^3))\leq(1)/(n)$

siccome $1/n$ è monotona decrescente.. allora la serie di termine generale $b_n$ converge semplicemente per Leibniz

DUNQUE RIASSUMENDO
per $|\alpha|<1$ convege assolutamente quindi converge
mentre per $\alpha=-1$ converge per Leibniz

[dissonance]

Va bene fino a Leibniz.

(Parentesi:

(lo so è un'assurdità ma è così)

Non è affatto una assurdità. Sono d'accordo col tuo prof, fa benissimo a fare così.)

Devi dimostrare che \(b_n\) è decrescente, non è che è minorata da una successione decrescente. A meno che tu non abbia in mente di applicare qualche altro teorema oltre a quello di Leibniz, ma se è così lo devi specificare esplicitamente. Che io sappia, anche se \(0\le b_n\le m_n\) e \(m_n\) è decrescente e infinitesima non è detto che \(\sum (-1)^nb_n\) sia convergente, però io non sono certo l'enciclopedia dei criteri di convergenza.

Se decidi di dimostrare direttamente che \(b_n\) è decrescente e infinitesima puoi provare a consultare qui:

post368167.html#p368167

[Plepp]

il mio professore di Analisi non vuole che utilizziamo le derivate e vuole il calcolo a mano (lo so è un'assurdità ma è così)

(E io sono d'accordo con Dissonance. Usare le derivate è "da Ingegneri" perchè a te pare così assurdo? Da un punto di vista formale, è un e(O)rrore usare la derivata con variabili discrete tra le mani).

[55sarah]

"dissonance":Va bene fino a Leibniz.

(Parentesi:

(lo so è un'assurdità ma è così)

Non è affatto una assurdità. Sono d'accordo col tuo prof, fa benissimo a fare così.)

Devi dimostrare che \(b_n\) è decrescente, non è che è minorata da una successione decrescente. A meno che tu non abbia in mente di applicare qualche altro teorema oltre a quello di Leibniz, ma se è così lo devi specificare esplicitamente. Che io sappia, anche se \(0\le b_n\le m_n\) e \(m_n\) è decrescente e infinitesima non è detto che \(\sum (-1)^nb_n\) sia convergente, però io non sono certo l'enciclopedia dei criteri di convergenza.

Se decidi di dimostrare direttamente che \(b_n\) è decrescente e infinitesima puoi provare a consultare qui:

post368167.html#p368167

"Plepp":

il mio professore di Analisi non vuole che utilizziamo le derivate e vuole il calcolo a mano (lo so è un'assurdità ma è così)

(E io sono d'accordo con Dissonance. Usare le derivate è "da Ingegneri" perchè a te pare così assurdo? Da un punto di vista formale, è un e(O)rrore usare la derivata con variabili discrete tra le mani).

perchè vi sono un po' di calcoli da fare XD
Comunque devo provare che sia definitivamente monotona decrescente cioè $b_n\geq b_{n+1}$

io ho $b_n=(-1)^n\cdot (1)/(n+\ln(n^3+3))$

lo faccio però mi viene così

$(1)/(n+\ln(n^3+3))\geq (1)/(n+1+\ln((n+1)^3+3))$

$n+1+ln((n+1)^3+3)\geq n+\ln(n^3+3)$

$1+\ln((n+1)^3+3)\geq \ln(n^3+3)$

ora per l'ultima disuguaglianza ottenuta non so come dire che per $n\rightarrow+\infty$ il primo membro è di ordine superiore

a quello del secondo membro.. come ha detto gugo82 nel suo topic..

che fare in questo caso?

È corretto fare così?
$\ln((n+1)^3+3)-\ln(n^3+3)\geq -1\rightarrow \ln(((n+1)^3+3)/(n^3+3))\geq -1$

che questo è verificato

ma ditemi se è corretto farlo.
Grazie in anticipo

[dissonance]

"55sarah":[...]
$1+\ln((n+1)^3+3)\geq \ln(n^3+3)$

Bene fin qui. Ora devi dimostrare che questa disuguaglianza è verificata per ogni \(n\in \mathbb{N}\). Io ti dico che ciò è vero e che si vede immediatamente: basta usare il fatto che la funzione \(\log\) e la funzione \(x\mapsto x^3\) sono entrambe monotone crescenti.

(Comunque vai piuttosto bene, brava. Continua così)

P.S.: Volendo avresti anche potuto affrontare il problema mediante calcolo differenziale, passando a variabile continua, derivando e poi studiando il segno della derivata. Ma guarda che così avresti finito col fare più conti, tra l'altro meno tracciabili di questi e quindi con maggiore probabilità di errore. Ecco uno dei motivi per cui penso che il tuo prof abbia ragione.

[gugo82]

Scusa 55sarah, per \(n\geq 1\) hai:
\[
\begin{split}
n &\Rightarrow \quad \ln (n^3+3) <\ln [(n+1)^3 +3] \\
&\Rightarrow \quad n+ \ln (n^3 +3) < (n+1)+ \ln [(n+1)^3 +3]
\end{split}
\]
quindi è evidente che \(a_n>a_{n+1}\)... Di che calcoli ti lamenti?
Sarebbe più complicato usare le derivate, no?

[55sarah]

grazie a tutti