Serie numerica con parametro
Ciao a tutti, non so se ho eseguito bene l'esercizio, ho un dubbio sull'ultimo passaggio quando faccio la convergenza assoluta. Verificate per favore. Grazie in anticipo.
Stabilire per quali valori del parametro \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \) la seguente serie converge
\(\displaystyle \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{\alpha^n}{n-1-\ln(n+2)}\)
l'ho svolta così
\(\displaystyle a_n=\alpha^n \frac{1}{n-1\ln\left(n\left(1+\frac{2}{n}\right)\right)}=\alpha^n\frac{1}{n-1-\left[\ln n+\ln\left(1+\frac{2}{n}\right)\right]}= \)
\(\displaystyle =\alpha^n \frac{1}{n-1-\ln n -\ln \left(1+\frac{2}{n}\right)} \)
ora ho giocato con l'o-piccolo:
per \(\displaystyle n\rightarrow+\infty \)
\(\displaystyle \ln n=o(n) \); \(\displaystyle -1=o(n) \); \(\displaystyle \ln \left(1+\frac{2}{n}\right)\sim \frac{2}{n}=o(n)\)
il termine generale si riscrive come \(\displaystyle \alpha^n\frac{1}{n+o(n)}\sim \frac{\alpha^n}{n} \)
ora devo studiare \(\displaystyle \sum \frac{\alpha^n}{n} \)
che per \(\displaystyle \alpha >1 \) non converge
per \(\displaystyle \alpha\in (-1,1),\alpha\neq0 \rightarrow \arrowvert \frac{\alpha^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{\alpha^n}\arrowvert =\arrowvert \alpha \arrowvert \rightarrow\) converge assoultamente, quindi anche semplicemente
Stabilire per quali valori del parametro \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \) la seguente serie converge
\(\displaystyle \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{\alpha^n}{n-1-\ln(n+2)}\)
l'ho svolta così
\(\displaystyle a_n=\alpha^n \frac{1}{n-1\ln\left(n\left(1+\frac{2}{n}\right)\right)}=\alpha^n\frac{1}{n-1-\left[\ln n+\ln\left(1+\frac{2}{n}\right)\right]}= \)
\(\displaystyle =\alpha^n \frac{1}{n-1-\ln n -\ln \left(1+\frac{2}{n}\right)} \)
ora ho giocato con l'o-piccolo:
per \(\displaystyle n\rightarrow+\infty \)
\(\displaystyle \ln n=o(n) \); \(\displaystyle -1=o(n) \); \(\displaystyle \ln \left(1+\frac{2}{n}\right)\sim \frac{2}{n}=o(n)\)
il termine generale si riscrive come \(\displaystyle \alpha^n\frac{1}{n+o(n)}\sim \frac{\alpha^n}{n} \)
ora devo studiare \(\displaystyle \sum \frac{\alpha^n}{n} \)
che per \(\displaystyle \alpha >1 \) non converge
per \(\displaystyle \alpha\in (-1,1),\alpha\neq0 \rightarrow \arrowvert \frac{\alpha^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{\alpha^n}\arrowvert =\arrowvert \alpha \arrowvert \rightarrow\) converge assoultamente, quindi anche semplicemente
Risposte
Ciao!
Più o meno ci siamo,anche se per questioni estetiche-didattiche non son molto d'accordo col metodo
(resto dell'opinione che stime asintotiche,ed a maggior ragione i simboli di Landau,
vadano usati con parsimonia e quando davvero indispensabili,
per non correre il rischio di trasformarli in una scorciatoia abituale ma pericolosa che si percorre con eccessiva leggerezza sottovalutandone i rischi..);
comunque,per completezza,bastava notare che:
(1.1)$AAalphain(0,+oo)$ si ha che $a_n(alpha)>0$ definitivamente in $NN$
(perchè,in seguito a note considerazioni sugli ordini d'infinito,$EElim_(n to oo)[n-1-log(n+2)]=+oo$..),
anzi addirittura lo è sempre
(anche se lo dico solo a mò di curiosità perchè basta ai nostri fini che lo sia,appunto,"da un certo indice in poi"..)
(1.2)$EElim_(n to oo)a_n(alpha)=+oo$ $AAalpha in(1,+oo)$
(sempre per considerazioni,opportune e "sicure",sugli ordini d'infinito..)
Da (1.1) ed (1.2) segue che (1)$sum_(n=3)^(+oo)a_n(alpha)$ diverge pos. $AAalpha in (1,+oo)$,
per le solite considerazioni sulle serie a termini definitivamente positivi con termine generale non infinitesimo.
(2)$sum_(n=3)^(+oo)((1)^n)/(n-1-log(n+2))=sum_(n=3)^(+oo)1/(n-1-log(n+2))$ diverge,
per confronto asintotico con la serie armonica
(infatti $EElim_(n to oo)(a_n(1))/(1/n)=lim_(n to oo)n/(n-1-log(n+2))=lim_(n to oo)n/(n-1)=1$..)
Da (1) e (2)n segue che $sum_(n=3)^(+oo)$ diverge pos. $AAalpha in [1,+oo)$
(3)$EElim_(n to oo)(|a_n(alpha)|)/(alpha^n)=lim_(n to oo)1/(n-1-log(n+2))=0$ $AAalpha in (-1,1)rArr$
$rArrsum_(n=3)^(+oo)a_n$ converge assolutamente,e dunque semplicemente,$AAalpha in (-1,1)$,
per confronto asintotico con la serie geometrica di ragione $|alpha|$.
Ciò detto..che fine ha fatto il caso $alpha in (-oo,-1]$?
Saluti dal web.
Più o meno ci siamo,anche se per questioni estetiche-didattiche non son molto d'accordo col metodo
(resto dell'opinione che stime asintotiche,ed a maggior ragione i simboli di Landau,
vadano usati con parsimonia e quando davvero indispensabili,
per non correre il rischio di trasformarli in una scorciatoia abituale ma pericolosa che si percorre con eccessiva leggerezza sottovalutandone i rischi..);
comunque,per completezza,bastava notare che:
(1.1)$AAalphain(0,+oo)$ si ha che $a_n(alpha)>0$ definitivamente in $NN$
(perchè,in seguito a note considerazioni sugli ordini d'infinito,$EElim_(n to oo)[n-1-log(n+2)]=+oo$..),
anzi addirittura lo è sempre
(anche se lo dico solo a mò di curiosità perchè basta ai nostri fini che lo sia,appunto,"da un certo indice in poi"..)
(1.2)$EElim_(n to oo)a_n(alpha)=+oo$ $AAalpha in(1,+oo)$
(sempre per considerazioni,opportune e "sicure",sugli ordini d'infinito..)
Da (1.1) ed (1.2) segue che (1)$sum_(n=3)^(+oo)a_n(alpha)$ diverge pos. $AAalpha in (1,+oo)$,
per le solite considerazioni sulle serie a termini definitivamente positivi con termine generale non infinitesimo.
(2)$sum_(n=3)^(+oo)((1)^n)/(n-1-log(n+2))=sum_(n=3)^(+oo)1/(n-1-log(n+2))$ diverge,
per confronto asintotico con la serie armonica
(infatti $EElim_(n to oo)(a_n(1))/(1/n)=lim_(n to oo)n/(n-1-log(n+2))=lim_(n to oo)n/(n-1)=1$..)
Da (1) e (2)n segue che $sum_(n=3)^(+oo)$ diverge pos. $AAalpha in [1,+oo)$
(3)$EElim_(n to oo)(|a_n(alpha)|)/(alpha^n)=lim_(n to oo)1/(n-1-log(n+2))=0$ $AAalpha in (-1,1)rArr$
$rArrsum_(n=3)^(+oo)a_n$ converge assolutamente,e dunque semplicemente,$AAalpha in (-1,1)$,
per confronto asintotico con la serie geometrica di ragione $|alpha|$.
Ciò detto..che fine ha fatto il caso $alpha in (-oo,-1]$?
Saluti dal web.
ah dunque era solamente un problema estetico, va bé. No io uso molto i simboli di Landau nei limiti di funzioni e di successioni.
Cmq alla fine ho detto che per \(\displaystyle \alpha \geq1 \) la serie diverge!
Per rispondere cosa succede all'intervallo \(\displaystyle (-\infty,-1] \) è semplice
mentre CONVERGE assolutamente, ossia semplicemente per \(\displaystyle -1<\alpha<1 \) e possiamo dire che diverge per il suo complementare e il complementare che è proprio \(\displaystyle (-\infty,-1]\cup[1,+\infty) \)
Cmq alla fine ho detto che per \(\displaystyle \alpha \geq1 \) la serie diverge!
Per rispondere cosa succede all'intervallo \(\displaystyle (-\infty,-1] \) è semplice
mentre CONVERGE assolutamente, ossia semplicemente per \(\displaystyle -1<\alpha<1 \) e possiamo dire che diverge per il suo complementare e il complementare che è proprio \(\displaystyle (-\infty,-1]\cup[1,+\infty) \)
Attento alle scorciatoie,sopratutto quelle sbagliate:
quando $alpha in (-oo,-1]$ la serie diventa a termini di segno alterno,
e dunque non sarebbe scontata la sua regolarità..
Saluti dal web.
P.S.Da dove è saltata fuori la tua considerazione conclusiva
(errata,pure se è un bene che quest'errore tu l'abbia fatto ora!)?
L'avrei capita,in parte,con $alpha$ all'esponente del numeratore..
quando $alpha in (-oo,-1]$ la serie diventa a termini di segno alterno,
e dunque non sarebbe scontata la sua regolarità..
Saluti dal web.
P.S.Da dove è saltata fuori la tua considerazione conclusiva
(errata,pure se è un bene che quest'errore tu l'abbia fatto ora!)?
L'avrei capita,in parte,con $alpha$ all'esponente del numeratore..
è giusto allora concludere come chiede il testo dell'esercizio che la serie converge assolutamente e quindi semplicemente solo per \(\displaystyle \alpha\in (-1,1) \)
No, c'è un altro punto in cui la serie converge semplicemente (e in cui non converge assolutamente)!
@21zuclo: Sprechi troppe parole per un esercizio semplicissimo.
Se \(|\alpha|>1\), la serie non soddisfa la condizione necessaria alla convergenza, quindi non è regolare; in particolare essa diverge positivamente per \(\alpha>1\), mentre oscilla per \(\alpha<-1\).
Supponiamo allora \(|\alpha|\leq 1\). Asintoticamente la serie equivale a \(\sum |\alpha|^n/n\), quindi essa converge assolutamente per \(|\alpha|<1\). Se \(\alpha=1\) la serie è equivalente alla serie armonica, quindi diverge positivamente. D'altra parte, se \(\alpha = -1\) la serie diventa a segni alterni e, siccome \((n-1-\ln(n+2))^{-1}\) è definitivamente decrescente ed infinitesima, essa converge per Leibniz.
Se \(|\alpha|>1\), la serie non soddisfa la condizione necessaria alla convergenza, quindi non è regolare; in particolare essa diverge positivamente per \(\alpha>1\), mentre oscilla per \(\alpha<-1\).
Supponiamo allora \(|\alpha|\leq 1\). Asintoticamente la serie equivale a \(\sum |\alpha|^n/n\), quindi essa converge assolutamente per \(|\alpha|<1\). Se \(\alpha=1\) la serie è equivalente alla serie armonica, quindi diverge positivamente. D'altra parte, se \(\alpha = -1\) la serie diventa a segni alterni e, siccome \((n-1-\ln(n+2))^{-1}\) è definitivamente decrescente ed infinitesima, essa converge per Leibniz.
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