Serie numerica con parametro

[dany80-votailprof]

ciao a tutti premetto che io e le serie numeriche non andiamo d'accordo...
comunque mi trovo davanti questa serie $ sum_(n=1)^(oo)a_n *(x+2)^n$ per $x app. R-(1)$


dove an è definita come$a1=1 $ e $a_(n+1)=sin an$

non ho idea di come debba studiarla l'unica cosa che mi viene da pensare che la successione an converga a zero perchè parte da uno e man mano va a decrescere per cui quella serie dopo un po avrà dei termini che si annullano... per il resto brancolo nel buio....

[gugo82]

Provato col criterio del rapporto?

Se lo applicassi ti troveresti a studiare qualcosa che sembra un limite, quindi pare una buona strada... Prova un po'.

[dany80-votailprof]

Grazie per la traccia!
non so perchè ma mi ero convinto con la radice n-esima(forse per il fatto che c'era la potenza)


allora credo che dovrebbe venire qualcosa i questo tipo:
$lim_(n->oo) (a_(n+1)/a_n)=lim_(n->oo) (a_(n+1) * (x+2)^(n+1))/(a_(n) * (x+2)^(n))$

che semplificando verrebbe

$lim_(n->oo) (a_(n+1) * (x+2))/(a_(n))$

allora x+2 è una costante funzione di x la cosa che mi lascia perplesso e il termine $a_(n+1) /(a_(n))$

sbaglio a scriverlo così? $sina_n/sina_(n-1)$ ma questo termine non tende a zero?

[gugo82]

Più che scriverlo a quella maniera, potresti usare la ricorrenza per scrivere [tex]$\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\sin a_n}{a_n}$[/tex]; visto che vale [tex]$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1$[/tex], qualora riuscissi a stabilire che [tex]$a_n\to 0$[/tex] avresti pure:

[tex]$\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim \frac{\sin a_n}{a_n} =1$[/tex].

Quindi sembra importante andare a studiare le proprietà della successione definita per ricorrenza dalle:

[tex]$\begin{cases} a_{n+1} =\sin a_n \\ a_1=1\end{cases}$[/tex]

e ciò si può fare in maniera abbastanza semplice. Prova un po'...

[dany80-votailprof]

Mitico!!!
grande ora ci pova il fatto e che a livello intuitivo an per me tende a 0 il problema sarà farlo in maniera rigorosa... più tardi ci provo, grazie tante per l'aiuto

[gugo82]

In realtà non è un grosso problema dimostrare ciò che hai intuito; infatti basta fare un po' di considerazioni elementari sul comportamento della funzione $\sin x$ in $[-1,1]$ per ottenere che $0$ è l'unico possibile limite di quella successione (ad esempio, potresti mostrare che $\sin x$ è una contrazione di $[-1,1]$, sicché essa ha un unico punto unito).

Certo se non hai mai fatto esercizi sulle successioni definite per ricorrenza non è immediato; se vuoi sapere di cosa si tratta, potresti cominciare dando uno sguardo qui.

[dany80-votailprof]

sarebbe corretto fare un ragionamento di questo tipo:
la successione che è stata definita per ricorrenza è pur sempre la funzione seno, quindi possiamo afferamare che a partire dal primo termina $a_1$ tutti gli altri sono tutti minori visto che $sen1 <1$ e man mano sempre più piccolo per cui nel grafico d senx ci spostiamo verso sinistra e inevitabilmente verso 0.

se questo fosse corretto allora
$lim_(n->oo) (a_(n+1)/a_n)=1$
di conseguenza il carettre della serie dipende solo e soltanto da $(x+2)$?
per cui se $x > -2 $ la serie diverge
per $x<-2$ la serie converge, e fosse così non a caso nel testo x non può essere -1 sarbbe l'unico valore per cui si creerebbe indeterminazione.

[gugo82]

L'idea è giusta (la successione è infinitesima), ma la dimostrazione no.

Una dimostrazione buona potrebbe essere la seguente.
Cominciamo a mostrare che la successione definita da:

[tex]$\begin{cases} a_{n+1}=\sin a_n \\ a_1=1\end{cases}$[/tex]

è limitata in [tex]$]0,1]$[/tex] e decrescente, ossia che risulta [tex]$0
La limitatezza si fa facilmente per induzione: infatti è [tex]$0
Ricordando la relazione ricorrente, per dimostrare la decrescenza occorre e basta far vedere che risulta [tex]$\sin a_n \leq a_n$[/tex] per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex]; per dimostrare quest'ultima disuguaglianza ragioniamo come segue: fissato [tex]$x \in [0,+\infty [$[/tex] si ha:

[tex]$\forall t\in [0,x],\ \cos t \leq 1 \ \Rightarrow \ \int_0^x \cos t \ \text{d} t \leq \int_0^x \text{d} t \ \Rightarrow \ \sin x\leq x$[/tex],

sicché scelto [tex]$x=a_n$[/tex] si ha proprio [tex]$\sin a_n \leq a_n$[/tex] come volevamo.

Visto che [tex]$(a_n)$[/tex] è monotona, essa è regolare ed essendo decrescente ha $[tex]\lim a_n =\inf a_n \in [0,1]$[/tex]. Detto [tex]$\ell \in [0,1]$[/tex] il limite di [tex]$(a_n)$[/tex], passando al limite nella relazione ricorrente si riconosce che:

[tex]$\ell =\lim a_{n+1} =\lim \sin a_n =\sin \ell$[/tex]

cosicché [tex]$\ell$[/tex] è una delle soluzioni dell'equazione [tex]$x-\sin x=0$[/tex].
Si vede subito che anche [tex]$0$[/tex] è una soluzione dell'equazione precedente, cosicché se riuscissimo a far vedere che [tex]$0$[/tex] è l'unica soluzione di [tex]$x-\sin x=0$[/tex] potremmo affermare che [tex]$\ell =0$[/tex].

Consideriamo allora la funzione [tex][tex]$\phi$[/tex][/tex]: derivando troviamo [tex]$\phi^\prime (x)=1-\cos x$[/tex] ed evidentemente si ha [tex]$\phi^\prime \geq 0$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], cosicché [tex]$\phi$[/tex] è crescente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
Per assurdo supponiamo ora che esista un [tex]$\overline{x} \neq 0$[/tex] tale che [tex]$\phi (\overline{x})=0$[/tex] e, per fissare le idee, supponiamo anche che [tex]$\overline{x}>0$[/tex] (altrimenti si ragiona in maniera analoga): essendo [tex]$\phi$[/tex] crescente in [tex]$[0,\overline{x}]$[/tex] deve risultare [tex]$0=\phi (0)\leq \phi (x) \leq \phi (\overline{x}) =0$[/tex] ossia [tex]$\phi (x)=0$[/tex] in [tex]$[0,\overline{x}]$[/tex]; in tal caso si avrebbe pure [tex]$\phi^\prime (x)=0$[/tex] in tutto [tex]$[0,\overline{x}]$[/tex], ma ciò è assurdo in quanto la funzione [tex]$\phi^\prime (x)=1-\cos x$[/tex] non assume identicamente il valore zero in nessun intervallo non degenere di [tex]$\mathbb{R}$[/tex].*
Pertanto non esistono [tex]$\overline{x} \neq 0$[/tex] tali che [tex]$\phi (\overline{x})=0$[/tex] e quindi [tex]$0$[/tex] è l'unica soluzione della equazione [tex]$x-\sin x=0$[/tex].

Ne consegue [tex]$\ell =0$[/tex], che è quello che avevi intuito.


__________
* Oppure: ciò è assurdo in quanto la funzione [tex]$\phi^\prime (x)=1-\cos x$[/tex] ha solo zeri isolati.

[dany80-votailprof]

perdonami ma con il principio di induzione non avevi già dimostrato che la succesione e strettamente compresa tra $0 di conseguenza essendo la successione decrescente il suo valore limite deve essere 0? o questa decrescenza viene dimostrata dall'integrale ovvero non è implicita nel dimostrare che $0

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[dany80-votailprof]

ritornando al carattere della serie per $x >-2$ la serie diverge. ma mi chiedevo per tutti i valori di $x<-2$ la serie diventa a termini negativi? ma il cirterio afferma che se il rapporto è <1 converge, ma anche se fosse negativo?