Serie Numerica con Parametro
Buonasera , è da ormai ore che sono completamente fermo su questi 2 problemi che non so risolvere in alcun modo
In entrambi si chiede di trovare per quali valori di alpha la serie converge
1. Serie da k=1 a +infinito di (k^(alpha/2)) * (ln((k+3)/(k+2)))
2. Serie da k=1 a +infinito di (k^alpha) * (1- 1/(2k^2) - cos(1/k))
In entrambi si chiede di trovare per quali valori di alpha la serie converge
1. Serie da k=1 a +infinito di (k^(alpha/2)) * (ln((k+3)/(k+2)))
2. Serie da k=1 a +infinito di (k^alpha) * (1- 1/(2k^2) - cos(1/k))
Risposte
Ciao! Che teoremi hai visto durante il corso? Ad esempio, conosci il criterio del confronto asintotico?
Lo conosco ma non capisco come applicarlo , mi spiego meglio , nel 1 problema non so come modificare quel k^(alpha/2) e soprattutto il continuo , ln((k+3)/(k+2)) si comporta come ln(k/k) che corrisponde a ln(1) = 0 , e quindi avrei k^(alpha/2) * 0 che mi sembra errato
Stessa cosa per la seconda parte del n.2 , uso il limite notevole per 1-cos(1/k) che corrisponde a 1/2k^2 che , proseguendo con il calcolo , esce k^alpha * 0
Stessa cosa per la seconda parte del n.2 , uso il limite notevole per 1-cos(1/k) che corrisponde a 1/2k^2 che , proseguendo con il calcolo , esce k^alpha * 0
Ti chiedo per favore di cercare di scrivere con le formule del forum (link qui), o potrebbe diventare difficile leggere il testo quando le espressioni si complicano.
Riguardo l'esercizio, "si comporta come" purtroppo non significa molto in matematica e quindi non si può sostituire $k$ a $k+3$ e $k+2$ , anche se quando $k \to +\infty$ il loro rapporto tende a $1$. Però, puoi provare a scrivere:
$$\ln \left(\frac{k+3}{k+2}\right)=\ln \left(\frac{k+2+1}{k+2}\right)=\ln \left(1+\frac{1}{k+2}\right)$$
Quindi, la prima serie è uguale a:
$$\sum_{k=1}^\infty k^{\alpha/2} \ln\left(1+\frac{1}{k+2}\right)$$
Hai detto che hai visto il criterio del confronto asintotico ma non sai come applicarlo. Prova a rivederne le ipotesi e a ragionare su questa nuova scrittura della serie che ti ho proposto. Poi, alla seconda ci arriviamo.
Riguardo l'esercizio, "si comporta come" purtroppo non significa molto in matematica e quindi non si può sostituire $k$ a $k+3$ e $k+2$ , anche se quando $k \to +\infty$ il loro rapporto tende a $1$. Però, puoi provare a scrivere:
$$\ln \left(\frac{k+3}{k+2}\right)=\ln \left(\frac{k+2+1}{k+2}\right)=\ln \left(1+\frac{1}{k+2}\right)$$
Quindi, la prima serie è uguale a:
$$\sum_{k=1}^\infty k^{\alpha/2} \ln\left(1+\frac{1}{k+2}\right)$$
Hai detto che hai visto il criterio del confronto asintotico ma non sai come applicarlo. Prova a rivederne le ipotesi e a ragionare su questa nuova scrittura della serie che ti ho proposto. Poi, alla seconda ci arriviamo.
Quando il limite tende a +infinito di questa funzione quel \(\displaystyle ln(1+ 1/(k+2)) \) lo possiamo riscrivere come \(\displaystyle 1/(k+2) \)
Avendo come moltiplicazione restante \(\displaystyle (k^{alpha/2}) * 1/(k+2) \)
Però da qui non capisco come fare , so che dovremmo puntare ad un risultato simile a \(\displaystyle 1/(k^{alpha -x}) \) ma non capisco come arrivarci
Avendo come moltiplicazione restante \(\displaystyle (k^{alpha/2}) * 1/(k+2) \)
Però da qui non capisco come fare , so che dovremmo puntare ad un risultato simile a \(\displaystyle 1/(k^{alpha -x}) \) ma non capisco come arrivarci
Grazie per aver letto come scrivere le formule. Se vuoi scrivere $\alpha$, basta che tu scriva:
Se vuoi scrivere $\frac{a}{b}$, basta che tu scriva:
L'idea è corretta. Innanzitutto andrebbe anche verificato che le successioni sono di termini non negativi (cosa vera, ma va fatto). Quel "riscrivere" è impreciso tanto quanto "si comporta come"; il termine che vuoi usare è "asintotico per $k\to +\infty$", ossia il limite per $k\to +\infty$ del loro rapporto è $1$. Quindi, dato che:
$$\lim_{k \to +\infty} \frac{k^{\alpha/2}\ln\left(\frac{k+3}{k+2}\right)}{k^{\alpha/2}\frac{1}{k+2}}=1$$
Per il criterio del confronto asintotico, la tua serie ha lo stesso carattere della serie:
$$\sum_{k=1}^\infty k^{\alpha/2} \frac{1}{k+2}$$
Nuovamente, $k^{\alpha/2}\frac{1}{k+2}$ è asintotico a $k^{\alpha/2}\frac{1}{k}$ per $k\to +\infty$, in quanto:
$$\lim_{k \to +\infty} \frac{\frac{k^{\alpha/2}}{k+2}}{\frac{k^{\alpha/2}}{k}}=1$$
Perciò, nuovamente per il criterio del confronto asintotico, la tua serie $\sum_{k=1}^\infty \frac{k^{\alpha/2}}{k+2}$ lo stesso carattere della serie:
$$\sum_{k=1}^\infty k^{\alpha/2}\frac{1}{k}$$
Avresti potuto fare direttamente un confronto con $1/k$, ma ho preferito così per formalizzare il ragionamento intuitivo "sommare $2$ a denominatore non influenza la convergenza/divergenza".
\alpha
Se vuoi scrivere $\frac{a}{b}$, basta che tu scriva:
\frac{a}{b}L'idea è corretta. Innanzitutto andrebbe anche verificato che le successioni sono di termini non negativi (cosa vera, ma va fatto). Quel "riscrivere" è impreciso tanto quanto "si comporta come"; il termine che vuoi usare è "asintotico per $k\to +\infty$", ossia il limite per $k\to +\infty$ del loro rapporto è $1$. Quindi, dato che:
$$\lim_{k \to +\infty} \frac{k^{\alpha/2}\ln\left(\frac{k+3}{k+2}\right)}{k^{\alpha/2}\frac{1}{k+2}}=1$$
Per il criterio del confronto asintotico, la tua serie ha lo stesso carattere della serie:
$$\sum_{k=1}^\infty k^{\alpha/2} \frac{1}{k+2}$$
Nuovamente, $k^{\alpha/2}\frac{1}{k+2}$ è asintotico a $k^{\alpha/2}\frac{1}{k}$ per $k\to +\infty$, in quanto:
$$\lim_{k \to +\infty} \frac{\frac{k^{\alpha/2}}{k+2}}{\frac{k^{\alpha/2}}{k}}=1$$
Perciò, nuovamente per il criterio del confronto asintotico, la tua serie $\sum_{k=1}^\infty \frac{k^{\alpha/2}}{k+2}$ lo stesso carattere della serie:
$$\sum_{k=1}^\infty k^{\alpha/2}\frac{1}{k}$$
Avresti potuto fare direttamente un confronto con $1/k$, ma ho preferito così per formalizzare il ragionamento intuitivo "sommare $2$ a denominatore non influenza la convergenza/divergenza".
E da qui avrei \(\displaystyle (k^{\alpha/2})/k \) che posso riscrivere come \(\displaystyle k^{(\alpha/2)-1} \)
Quindi \(\displaystyle \alpha \) deve essere > di 4 per far si che la serie converga?
Quindi \(\displaystyle \alpha \) deve essere > di 4 per far si che la serie converga?
No, l'hai detto tu stesso qui:
devi ricondurti ad una successione sotto il segno di serie della forma $\frac{1}{k^\beta}$, con $\beta$ indipendente da $k$.
"Pennino":
so che dovremmo puntare ad un risultato simile a \(\displaystyle 1/(k^{alpha -x}) \)
devi ricondurti ad una successione sotto il segno di serie della forma $\frac{1}{k^\beta}$, con $\beta$ indipendente da $k$.
Quindi mi porto il parametro al denominatore e rimango con un \(\displaystyle \frac {1}{k^{-\alpha/2 +1}} \)
E quindi \(\displaystyle \alpha \) deve essere <0 per far si che la serie converga?
E quindi \(\displaystyle \alpha \) deve essere <0 per far si che la serie converga?
Sì, esatto. L'altra è praticamente uguale. Però, ribadisco: il criterio del confronto asintotico è per serie a termini non negativi (almeno definitivamente). Devi anche dimostrare che le successioni sotto il segno di serie sono non negative.
Adesso provo a risolverlo , grazie!!!
L'unica cosa che non capisco è come modificare quella seconda parte per fare si che non faccia 0 (nel 2 esercizio)
L'unica cosa che non capisco è come modificare quella seconda parte per fare si che non faccia 0 (nel 2 esercizio)
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