Serie numerica con logaritmo
La seguente serie converge ma non assolutamente
$sum_(n = 3\ldots) (-1)^nlog(3n)/(2n)$
Io ho risolto studiando il valore assoluto per vedere se converge assolutamente e ho pensato che
$log(3n)/(2n)$ è o piccolo di $((n3)/(2n)) =3/2$ e quindi converge anche la serie assolutamente
Perchè il mio ragionamento è sbagliato?
$sum_(n = 3\ldots) (-1)^nlog(3n)/(2n)$
Io ho risolto studiando il valore assoluto per vedere se converge assolutamente e ho pensato che
$log(3n)/(2n)$ è o piccolo di $((n3)/(2n)) =3/2$ e quindi converge anche la serie assolutamente
Perchè il mio ragionamento è sbagliato?
Risposte
la serie dei termini in valore assoluto è banalmente una maggiorante della serie di termine generale $1/(2n)$ e quindi diverge
francamente,non riesco a cogliere il senso del tuo ragionamento
francamente,non riesco a cogliere il senso del tuo ragionamento
Ciao, la tua serie è convergente per il criterio di Leibniz, essenzialmente non hai bisogno di fare nulla per vederlo
è sulla convergenza assoluta che non c'era accordo
Vero, ho fatto confusione su quanto richiesto, comunque un altro modo abbastanza rapido quando si ha a che fare i logaritmi è quello di applicare il criterio di condensazione di Cauchy
"quantunquemente":
la serie dei termini in valore assoluto è banalmente una maggiorante della serie di termine generale $1/(2n)$ e quindi diverge
francamente,non riesco a cogliere il senso del tuo ragionamento
in che senso un maggiorante? mi spiegheresti più esplicitamente che ragionamento hai seguito per risolverlo per favore?
la serie converge ma non converge assolutamente
"taurus85":
la serie converge ma non converge assolutamente
stai scherzando vero?
??????
Rispondi al mio quesito dicendo una cosa che tra l'altro ho già detto io nel testo della domanda e senza giustificare minimamente la tua risposta? ma l'utilità?
Se qualcuno è in grado di spiegarmi più esplicitamente perchè converge ma non assolutamente mi farebbe davvero un favore perchè io non ci arrivo.
Se qualcuno è in grado di spiegarmi più esplicitamente perchè converge ma non assolutamente mi farebbe davvero un favore perchè io non ci arrivo.
essendo una serie a segni alterni in base a criterio di leibtz la seerie è decrescente in quanto la ragione della serie per oo tende a 0 , ma non converge assolutamente in quanto log3n/2n l' infinito di 2n è piu veloce rispetto l' infinito di log3n quindi log3n/2n $=$ 1/2n $=$ 1/n che diverge quindi la serie converge ma non assolutamente......
"Enea92":
Rispondi al mio quesito dicendo una cosa che tra l'altro ho già detto io nel testo della domanda e senza giustificare minimamente la tua risposta? ma l'utilità?
Se qualcuno è in grado di spiegarmi più esplicitamente perchè converge ma non assolutamente mi farebbe davvero un favore perchè io non ci arrivo.
Ciao, cerchiamo di fare chiarezza, innanzitutto chiariamo il legame che c'è tra convergenza semplice e assoluta:
- se una serie converge assolutamente (converge la serie dei moduli ) allora converge anche semplicemente
- se una serie non converge assolutamente, può ancora converge semplicemente.
Cominciamo dalla convergenza assoluta della tua serie:
$sum |(-1)^n log(3n)/(2n)| = sum log(3n)/(2n)$
Molto agevolmente puoi semplicemente notare che $log(3n)/(2n)>1/(2n)$, ma la serie $sum 1/(2n)$ è una serie armonica divergente, dunque per il criterio del confronto, essendo la tua serie dei moduli maggiore di una serie divergenze, sarà anche essa divergente. Così concludiamo che la tua serie non converge assolutamente.
Non scoraggiamoci però, ritornando alla serie di partenza, è possibile applicare il criterio di Leibniz, infatti:
$lim_(n->oo) log(3n)/(2n)=0$
$log(3(n+1))/(2(n+1))
Dunque la tua serie converge semplicemente, nonostante non converga assolutamente!
converge semplicemente in quanto la ragione della serie tende a 0 quindi è decrescente per il criterio di leibtz di conseguenza converge semplicemente, non converge assolutamente in quanto la ragione della serie ovvero log3n/2n effettuando il confronto fra infiniti log3n/2n $=$ 1/2n in quanto l' infinito di 2n è piu veloce dell' infinito di log3n di conseguenza 1/2n $=$ 1/n che diverge per dimostrazione....
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