Serie numerica con fattoriali
Salve a tutti, sto svolgendo la seguente serie:
\(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{n!}{\sqrt{(2n)!}}} \)
Ho provato con il criterio del rapporto per capire il comportamento della serie, ma arrivati al limite ho delle difficoltà:
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(n+1)!}{\sqrt{(2(n+1))!}} \frac{\sqrt{(2n)!}}{n!}" "(1)$
Ma effettuando il seguente passaggio:
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(n+1)n!}{\sqrt{(2(n+1))(2n)!}} \frac{\sqrt{(2n)!}}{n!} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{n+1}{\sqrt{2(n+1)}}" "(2)$
Infine concludo che $(2)\rightarrow+\infty$. Per esserne sicuro controllo su Walfram, ma il limite $(1)\rightarrow\frac{1}{2}$. Dov'è che sto sbagliando? Grazie a chiunque mi aiuti.
\(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{n!}{\sqrt{(2n)!}}} \)
Ho provato con il criterio del rapporto per capire il comportamento della serie, ma arrivati al limite ho delle difficoltà:
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(n+1)!}{\sqrt{(2(n+1))!}} \frac{\sqrt{(2n)!}}{n!}" "(1)$
Ma effettuando il seguente passaggio:
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{(n+1)n!}{\sqrt{(2(n+1))(2n)!}} \frac{\sqrt{(2n)!}}{n!} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{n+1}{\sqrt{2(n+1)}}" "(2)$
Infine concludo che $(2)\rightarrow+\infty$. Per esserne sicuro controllo su Walfram, ma il limite $(1)\rightarrow\frac{1}{2}$. Dov'è che sto sbagliando? Grazie a chiunque mi aiuti.
Risposte
Hai sbagliato quando hai separato i fattoriali passaggio $(2)$: $$(2(n+1))! = (2(n+1))\cdot(2(n+1) - 1)! =(2(n+1))\cdot(2n+2-1)! =(2(n+1))\cdot(2n+1)!$$
Ops, ho fatto un erroraccio allora! Grazie mille per la tua risposta.
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