Serie numerica con dubbi
Salve a tutti sono nuovo, spero di non aver sbagliato sezione del forum dove postare. Ho un problema sulla seguente serie.
$ sum[(1+1/n)^(2n) *e^-n-1] $
Per n che va da 1 a infinito.
Io ho riscritto la serie come
$ e^(n^2log(1+1/n))*e^-n-1 $
E successivamente ho tenuto in considerazione il fatto che $ log (1+f(x))~ f(x) $ Quindi di conseguenza
$ log(1+1/n)~ 1/n $
Quindi la mia serie diventa
$ lim n to oo [(e^(n^2*1/n))*e^-n-1] $
Credo che però ci sia un errore ma non capisco quale. Qualcuno saprebbe aiutarmi? Vi ringrazio infinitamente
$ sum[(1+1/n)^(2n) *e^-n-1] $
Per n che va da 1 a infinito.
Io ho riscritto la serie come
$ e^(n^2log(1+1/n))*e^-n-1 $
E successivamente ho tenuto in considerazione il fatto che $ log (1+f(x))~ f(x) $ Quindi di conseguenza
$ log(1+1/n)~ 1/n $
Quindi la mia serie diventa
$ lim n to oo [(e^(n^2*1/n))*e^-n-1] $
Credo che però ci sia un errore ma non capisco quale. Qualcuno saprebbe aiutarmi? Vi ringrazio infinitamente
Risposte
Ciao, $(1+1/n)^2 = e^{2 log(1+1/n)}$. Tu hai scritto $n^2$ al posto di $2$ nell'esponente.
Ciao imFrancesco,
Benvenuto sul forum!
La serie proposta è la seguente:
$ sum_{n = 1}^{+\infty}[(1+1/n)^(2n) e^-n-1] = - sum_{n = 1}^{+\infty}[1 - (1+1/n)^(2n) e^-n] $
Tolti i primi due termini che si ottengono per $n = 1 $ e $n = 2$, la seconda serie è a termini positivi e posto $a_n := 1 - (1+1/n)^(2n) e^-n $ si ha $\lim_{n \to +\infty} a_n = 1 \ne 0 $, per cui la serie iniziale proposta diverge a $-\infty $
Benvenuto sul forum!
La serie proposta è la seguente:
$ sum_{n = 1}^{+\infty}[(1+1/n)^(2n) e^-n-1] = - sum_{n = 1}^{+\infty}[1 - (1+1/n)^(2n) e^-n] $
Tolti i primi due termini che si ottengono per $n = 1 $ e $n = 2$, la seconda serie è a termini positivi e posto $a_n := 1 - (1+1/n)^(2n) e^-n $ si ha $\lim_{n \to +\infty} a_n = 1 \ne 0 $, per cui la serie iniziale proposta diverge a $-\infty $
"pilloeffe":
Ciao imFrancesco,
Benvenuto sul forum!
La serie proposta è la seguente:
$ sum_{n = 1}^{+\infty}[(1+1/n)^(2n) e^-n-1] = - sum_{n = 1}^{+\infty}[1 - (1+1/n)^(2n) e^-n] $
Tolti i primi due termini che si ottengono per $n = 1 $ e $n = 2$, la seconda serie è a termini positivi e posto $a_n := 1 - (1+1/n)^(2n) e^-n $ si ha $\lim_{n \to +\infty} a_n = 1 \ne 0 $, per cui la serie iniziale proposta diverge a $-\infty $
Ciao pilloeffe grazie per la risposta!
Se invece la serie di partenza fosse stata così
$ sum[(1+1/n)^(n^2) *e^-n-1] $
Per n che va da 1 a infinito.
Il ragionamento che ho fatto nel primo messaggio cioè:
$ e^(n^2log(1+1/n))*e^-n-1 $
è giusto ?
"imFrancesco":
Ciao pilloeffe grazie per la risposta!
Prego!
"imFrancesco":
Il ragionamento che ho fatto nel primo messaggio cioè:
$e^{n^2 log(1+1/n)} e^{-n} − 1 $
sarebbe stato giusto ?
Fino a qui sì, ma poi avresti dovuto sviluppare in serie $log(1 + 1/n) $ ad un ordine superiore al primo per via della cancellazione con $-n$...
Comunque la serie proposta sarebbe stata divergente a $-\infty $:
$ sum_{n = 1}^{+\infty}[(1+1/n)^(n^2) e^-n-1] = - sum_{n = 1}^{+\infty}[1 - (1+1/n)^(n^2) e^-n] = -\infty $
"pilloeffe":
[quote="imFrancesco"]Ciao pilloeffe grazie per la risposta!
Prego!
"imFrancesco":
Il ragionamento che ho fatto nel primo messaggio cioè:
$e^{n^2 log(1+1/n)} e^{-n} − 1 $
sarebbe stato giusto ?
Fino a qui sì, ma poi avresti dovuto sviluppare in serie $log(1 + 1/n) $ ad un ordine superiore al primo per via della cancellazione con $-n$...
Comunque la serie proposta sarebbe stata divergente a $-\infty $:
$ sum_{n = 1}^{+\infty}[(1+1/n)^(n^2) e^-n-1] = - sum_{n = 1}^{+\infty}[1 - (1+1/n)^(n^2) e^-n] = -\infty $[/quote]
Ancora grazie, sei gentilissimo!
Ho un ultimo dubbio, quindi non avrei potuto fare qualcosa del tipo:
$ log (1+f(x))~ f(x) $ Quindi di conseguenza
$ log(1+1/n)~ 1/n $
$ lim n to oo [(e^(n^2*1/n))*e^-n-1] $
Perchè poi
$ lim n to oo (e^n * e^(-n)-1) = -1 $
Avrei sbagliato? Ero obbligato a svolgere il logaritmo al secondo ordine? Ti ringrazio nuovamente!
"imFrancesco":
Perchè poi
$lim n \to \infty(e^n e^{-n} − 1)=−1 $
Avrei sbagliato?
Sì, se non altro perché quel limite risulta $0 $...
"imFrancesco":
Ero obbligato a svolgere il logaritmo al secondo ordine?
Sì, sempre quando si è in presenza di cancellazioni: in tali casi trascurare gli infinitesimi di ordine superiore falserebbe il risultato...
"pilloeffe":
[quote="imFrancesco"]Perchè poi
$lim n \to \infty(e^n e^{-n} − 1)=−1 $
Avrei sbagliato?
Sì, se non altro perché quel limite risulta $0 $...
"imFrancesco":
Ero obbligato a svolgere il logaritmo al secondo ordine?
Sì, sempre quando si è in presenza di cancellazioni: in tali casi trascurare gli infinitesimi di ordine superiore falserebbe il risultato...
[/quote]Aaha si ovviamente quel limite era = 0!
Comunque sei stato chiarissimo, ti ringrazio e buone feste!
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