Serie numerica carattere
Salve, mi dareste una mano nel determinare il carattere della serie $\sum_{n=1}^(oo)(\sqrt(n+1)-\sqrtn)/(\sqrt(n^2-n))$ utilizzando solo la definizione di serie? Ho provato a scomporre in un paio di modi ma non sono arrivato a nulla...
Risposte
Idee tue?
Ho provato a moltiplicare e dividere per il "coniugato" del numeratore ma non sono arrivato ad una forma che mi desse informazioni sulla somma parziale. Ho anche riscritto nella forma $1/(\sqrt(k-1))(\sqrt((k+1)/(k-1))-1)$ senza arrivare a nulla.
Mi sto approcciando adesso alle serie quindi non sono molto pratico...
Mi sto approcciando adesso alle serie quindi non sono molto pratico...
"Slashino":
Salve, mi dareste una mano nel determinare il carattere della serie $\sum_{n=1}^(oo)(\sqrt(n+1)-\sqrtn)/(\sqrt(n^2-n))$ utilizzando solo la definizione di serie? Ho provato a scomporre in un paio di modi ma non sono arrivato a nulla...
vabbè intanto puoi osservare che è una serie a termini di segno fissato
poi, ricordando il prodotto notevole a^2-b^2=(a-b)(a+b) :
$ (\sqrt(n+1)-\sqrtn)= (n+1-n )/ (\sqrt(n+1)+\sqrtn )$
--->$ 1/(sqrt(n^2-n) (sqrt(n+1)+sqrtn ))=1/(n sqrt(1-1/n) (sqrt(n+1)+sqrtn ))$
da qua puoi facilmente verificare che per n-->oo, la serie --->0 per cui converge
"ing.cane":
da qua puoi facilmente verificare che per n-->oo, la serie --->0 per cui converge
Ma questa è condizione solo necessaria o sbaglio?
vabbè a questo punto è semplice applicare il confronto asintotico con la serie armonica generalizzata:
la serie è asintotica a 1/n^(3/2) per cui converge
la serie è asintotica a 1/n^(3/2) per cui converge
"ing.cane":
vabbè a questo punto è semplice applicare il confronto asintotico con la serie armonica generalizzata:
la serie è asintotica a 1/n^(3/2) per cui converge
Devo svolgere l'esercizio "usando solo la definizione di serie"...citato dal libro
beh, allora potresti vederla come una serie telescopica....... però non ne sono sicura!
@Slashino: Sicuro che a denominatore non ci sia \(\sqrt{n^2+n}\)?
@gugo82: si nella traccia c'è il segno -
@ing.cane: non mi sembra si presenti nella forma di una serie telescopica, purtroppo
@ing.cane: non mi sembra si presenti nella forma di una serie telescopica, purtroppo
Allora è sbagliato il testo della traccia.
Se c'è il \(-\) non è possibile in alcun modo ricondurre quella roba ad una serie della quale sia possibile rappresentare esplicitamente le somme parziali.
Che il testo sia sbagliato te lo indica anche il fatto che l'indice comuncia da \(1\), cosa impossibile dato che a denominatore c'è una quantità nulla per \(n=1\).
Se c'è il \(-\) non è possibile in alcun modo ricondurre quella roba ad una serie della quale sia possibile rappresentare esplicitamente le somme parziali.
Che il testo sia sbagliato te lo indica anche il fatto che l'indice comuncia da \(1\), cosa impossibile dato che a denominatore c'è una quantità nulla per \(n=1\).
No in realtà l'indice inizia da $2$, è stato un mio errore. 
Comunque questo non sistema le cose. Grazie ad entrambi
Comunque questo non sistema le cose. Grazie ad entrambi
Fidati, la serie è:
\[
\sum_{n=2}^\infty \frac{\sqrt{n+1} -\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}} \qquad \text{oppure}\qquad \sum_{n=2}^\infty \frac{\sqrt{n-1} -\sqrt{n}}{\sqrt{n^2-n}}\; \ldots
\]
Insomma, almeno uno dei segni nei radicandi è sbagliato.
Questo fa sì che l'esercizio diventi risolubile con la sola definizione di serie.
\[
\sum_{n=2}^\infty \frac{\sqrt{n+1} -\sqrt{n}}{\sqrt{n^2+n}} \qquad \text{oppure}\qquad \sum_{n=2}^\infty \frac{\sqrt{n-1} -\sqrt{n}}{\sqrt{n^2-n}}\; \ldots
\]
Insomma, almeno uno dei segni nei radicandi è sbagliato.
Questo fa sì che l'esercizio diventi risolubile con la sola definizione di serie.
Ok,grazie ancora
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